PRIMI PASSI NELL’ARITMETICA DELL’INFINITO

 INTRODUZIONE

Cari insegnanti di matematica, questo mio breve lavoro è per voi. Perché siete voi che ogni giorno cercate il modo per trasmettere ai vostri studenti innanzitutto la passione per la matematica. Cari appassionati di matematica, questo mio breve scritto è anche per voi. Perché fate parte di quelli che – dall’epoca lontana della scuola - hanno mantenuto sempre viva la curiosità per le cose nuove e interessanti, soprattutto di matematica. Cari insegnanti e appassionati di matematica, vi racconterò un libro e sarò divulgativo non solo per i non addetti ai lavori, ma anche per i tecnici della matematica, perché sono convinto che la divulgazione sia la prima porta di accesso alla conoscenza, e qui tratterò di “nuova” conoscenza per molti di voi, ma anche in parte per me, sebbene siano quasi 15 anni che seguo questa specifica sezione della matematica.

In particolare vi racconterò il libro “Primi passi nell’Aritmetica dell’Infinito”, scritto da Davide Rizza e pubblicato da Bonomo nel 2023. Perché proprio questo libro? Perché è il primo a dare struttura al nuovo sistema numerale introdotto dal Prof. Yaroslav Sergeyev (che firma anche una prefazione al testo; mentre un’altra è stata scritta dal Prof. Gianluca Caterina). Sia chiaro: già 20 anni fa venne pubblicato un primo libro sul tema, scritto direttamente da Sergeyev, ma il Prof. Davide Rizza ha scritto un’opera destinata in modo specifico agli insegnanti, ed anche a chi vuol partire dal principio, per comprendere come un nuovo sistema numerale possa essere applicato in moltissime situazioni, al fine di ottenere risultati più precisi rispetto al passato, quindi risultati migliori.

E’ noto a tutti che la matematica ha bisogno di tanto tempo per essere elaborata, spiegata, diffusa, compresa, applicata e quindi utilizzata. Lo stesso vale per il sistema introdotto da Sergeyev, che ha a che fare anche con la filosofia della matematica, in quanto tocca i fondamenti di questa disciplina, unendo idealmente in un lungo ponte storico la matematica greca a quella del ‘900. Quest’ultimo è il motivo per cui questo mio lavoro rappresenta anche un’elaborazione conclusiva per il corso di Storia della Matematica - “Da Euclide alle geometrie non euclidee: viaggio nel corso dei secoli” - organizzato dall’Accademia delle Scienze di Torino, a cui ho partecipato con molto piacere e che mi ha fornito una montagna di spunti per pensare alla matematica in modo nuovo.

UN NUMERO INDETERMINATO DI CILIEGIE

Tutto comincia con una festa di compleanno, una cesta piena di ciliegie ed un branco di bambini golosi. Un genitore annota quante ciliegie consegna a ciascun bambino, ma solo se il numero è minore o uguale a 5. Se il numero è superiore, segna un simbolo (per indicare che sono troppe), ad esempio il simbolo di infinito (∞). Un secondo genitore, leggendo quelle informazioni – che potrebbero riguardare qualunque oggetto, parte di una collezione – pensa che alcuni dati sono determinati (ad esempio “Lucia: 3”), mentre altri non lo sono (“Giacomo: ∞ “). Se vogliamo essere più precisi possiamo affermare che – nel caso in oggetto – alcune informazioni sono numericamente determinate, mentre altre non lo sono. 

Questo fatto viene qui ribadito in quanto è di importanza fondamentale, soprattutto per le conseguenze – in termini di elaborazione delle informazioni – che si ottengono da input determinati o indeterminati. Quando adoperiamo un certo sistema numerale, ad esempio quello in base 10 di utilizzo comune, possiamo eseguire operazioni solo usando elementi di questo sistema, quindi calcoliamo ad esempio delle differenze fra il numero di ciliegie possedute da due bambini, per capire quante ciliegie in più un bambino ha ricevuto rispetto ad un altro. Tuttavia, se entrambi i bambini hanno ricevuto un numero indeterminato di ciliegie (∞), la differenza fra i due numerali, cioè ∞ - ∞ non ci fornisce alcuna informazione utile, poiché si tratta di un’espressione indeterminata. 

Lo stesso si verifica se un bambino ha ricevuto una ciliegia in più rispetto ad un altro che ha un numero indeterminato di ciliegie: il risultato finale continua ad essere indeterminato. Come possiamo coinvolgere una quantità indeterminata in un conteggio? Non è possibile, perché non è possibile contare una quantità indeterminata.

PROBLEMI DI DETERMINAZIONE

“Per evitare le difficoltà ora identificate possiamo ampliare le nostre capacità di determinazione adottando risorse numerali più ricche” scrive Davide Rizza. Se usiamo i numerali primitivi 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 possiamo “considerare conteggi di lunghezza finita ma arbitraria e determinare collezioni finite qualsiasi” aggiunge l’autore. Insomma non vi sono particolari problemi di conteggio per le quantità finite, anche se fossero gigantesche, ma pur sempre determinate. 

Il problema è che – ad esempio – l’insieme dei numeri interi positivi è in buona sostanza una successione senza fine. Tuttavia, se ci se pensa sopra un po’, si arriverà a capire che il vero problema non è rappresentato dalla presenza di quantità infinite, in quanto le limitazioni, le difficoltà e le indeterminazioni derivano dall’utilizzo di un certo strumento (un sistema numerale), che non è abbastanza potente o sufficientemente preciso. La stessa cosa capita quando con un comune righello cerchiamo di misurare una lunghezza molto più piccola di un millimetro; se non cambiamo strumento dovremo accettare una notevole incertezza di misura. Stiamo quindi cercando più precisione nei calcoli, in tutti i calcoli – a partire da quelli aritmetici fino a quelli più complessi (che coinvolgono successioni, serie e molte altre situazioni) – ma la possibilità di ottenere risultati determinati dipende dalle risorse numerali di cui disponiamo. 

LA COSTRUZIONE DI UN SISTEMA NUMERALE PIU’ PRECISO

Incrementiamo quindi le nostre risorse numerali aggiungendo un numerale alla collezione degli interi positivi. Si tratta di  (da pronunciare gross-one, all’inglese). Sia  che combinazioni di  con vari numeri (ad es. 2, -1) fanno parte di una collezione che definiamo N. Per implementare un sistema numerale incrementato, seguendo la metodologia elaborata da Yaroslav Sergeyev ed illustrata da Davide Rizza, occorre definire tre condizioni (e qui, ma anche prima e dopo, abbiate pazienza per la mia “approssimazione”: cerco innanzitutto di divulgare i principi e le idee poste alla base di questo nuovo sistema numerale). 

Con la condizione zero stabiliamo che  risolve il problema di determinazione degli interi positivi; con la condizione 1 definiamo che qualunque numero rappresentabile in base 10 è comunque strettamente inferiore a ; infine con la condizione 2 aggiungiamo che le proprietà formali di ordine, addizione, moltiplicazione ed elevamento a potenza valgono in N. Abbiamo così creato l’insieme dei numeri naturali estesi, definito N = {0,1,2,3,… , -1, , +1,.....}. Attenzione ad uno degli equivoci più diffusi negli ultimi 15 anni, ovvero che   sia la “fine” di un insieme o di una collezione di elementi oppure che  sia un simbolo che sostituisce l’infinito. Non è così. 

Per comprendere quanto affermo occorre fare qualche passo in avanti nella filosofia della matematica, ed allenarsi nella meccanica di utilizzo di questo nuovo sistema. Ad entrambe le necessità ha provveduto Davide Rizza nel suo libro presentando non solo un discorso chiaro dal principio alla fine, ma anche corredato da 61 esercizi con le relative soluzioni, in modo che che gli insegnanti abbiano materiale da proporre agli studenti, a cominciare ad esempio dalla dimostrazione delle seguenti affermazioni:

<+1; <+; 2<6.

I TRE POSTULATI DI YAROSLAV SERGEYEV

Ma su cosa si basa il sistema numerale N sopra definito? Quali sono le “colonne” filosofiche su cui si è costruito un nuovo pensiero matematico e la relativa dimostrazione? 

Secondo Sergeyev esistono oggetti infiniti ed infinitesimi, ma gli esseri umani (ed anche le macchine) sono in grado di eseguire soltanto un numero finito di operazioni: questo è il suo primo postulato. A prima vista sembra un’affermazione ovvia: tutti ci rendiamo conto che la nostra vita è finita, nel senso che abbiamo una data di scadenza, così come qualunque oggetto ha la proprietà di non durare in eterno. Eppure, in generale, quando i matematici trattano oggetti o insiemi infiniti ipotizzano che gli esseri umani siano in grado di eseguire determinate operazioni un numero infinito di volte. Purtroppo non è così, e il Prof. Sergeyev, in “Numerical point of view on Calculus for functions assuming finite, infinite, and infinitesimal values over finite, infinite, and infinitesimal domains”, scrive che, a causa delle nostre limitate capacità, “accettiamo a priori che non siamo in grado di fornire una descrizione completa di insiemi e processi infiniti”.

Inoltre, come per le altre scienze, anche per la matematica lo strumento utilizzato assume un’importanza di rilievo, in quanto influenza i risultati delle osservazioni. Fra gli strumenti utilizzati dai matematici troviamo i sistemi numerali: diventa dunque opportuno rinnovarli al fine di ottenere risultati migliori, con la consapevolezza però che, a causa della nostra finitezza (si veda il postulato n. 1) non raggiungeremo mai l’ottimo. Di conseguenza, ecco il secondo postulato: non diremo che cosa sono gli oggetti matematici che trattiamo; ci limitiamo a costruire strumenti più potenti che migliorino le nostre capacità di osservare e descrivere le proprietà degli oggetti matematici. 

Con ciò si intende mettere in rilievo tre elementi molto importanti nell’evoluzione dell’Analisi Matematica elaborata da Sergeyev: il ricercatore; l’oggetto di indagine; lo strumento di osservazione utilizzato. Si tratta, evidentemente, dell’approccio tipico della Fisica.

Il terzo postulato, ovvero che la parte è inferiore all’intero, è ragionevole: il vostro braccio (che fa parte del vostro corpo) è inferiore al vostro corpo intero; un cioccolatino è inferiore ai cioccolatini riposti nella scatola da cui è stato estratto; un esame universitario superato è inferiore alla lista completa degli esami da superare…..

Sergeyev, nell’articolo sopra citato, specifica che il principio della parte inferiore all’intero non si applica solo ai numeri finiti, ma anche agli infiniti e agli infinitesimi. Inoltre si applica a tutti gli insiemi e processi, sia finiti che infiniti. Ciò implica che un cioccolatino estratto da un scatola di 100 è inferiore ai 100 cioccolatini della scatola, il che è ovvio. Meno ovvio è prendere una manciata di cioccolatini da una scatola che ne contiene un numero infinito e chiedersi se la manciata estratta sia inferiore rispetto a tutti quelli contenuti nella scatola. Secondo il buon senso (ed anche secondo il terzo postulato) la risposta è sì: quanti cioccolatini stanno in una mano e quanto è grande il numero di quelli contenuti nella scatola? Sia la manciata che il resto della scatola sono inferiori all'intero, dunque è evidente che la manciata sarà inferiore alla scatola intera. 

Eppure secondo l’Analisi tradizionale le cose non stanno così: infinito (cioè l'intero) meno 1 fa infinito, come anche infinito meno 100 o meno 1000 fa ancora infinito. Ciò implica che, dopo aver tolto una manciata di 1, 10, 100 o 1000 (o qualunque valore finito) cioccolatini dalla scatola contenente un numero infinito di cioccolatini, quello che rimane nella scatola non è inferiore all’intero. Ne consegue che, secondo l'Analisi tradizionale, la parte è uguale all'intero. Ciò deve necessariamente indurci a pensare che questo metodo (dell’Analisi tradizionale) sia troppo approssimativo, troppo poco preciso e parecchio lontano dal buon senso, perché non riesce a registrare l'operazione di sottrazione di qualsiasi numero finito dall'intero, operazione che è facilmente osservabile.

Nell’articolo: “Un semplice modo per trattare le grandezze infinite ed infinitesime” Sergeyev ci ricorda che il suo terzo postulato – la parte è minore dell’intero – deriva dall’antica Grecia e quindi è in linea con i pensatori dell’epoca. Credete che Georg Cantor non sarebbe stato d’accordo con il terzo postulato? Secondo Cantor, “la parte di un oggetto infinito può essere grande come l’intero oggetto” scrive Sergeyev. Ma il contrasto è solo apparente. Si tratta – di nuovo – di un problema di livello di precisione. Esistono affermazioni corrette e molto precise, come esistono affermazioni altrettanto corrette, ma un po’ meno precise. 

COSA TROVATE DENTRO L’ARITMETICA DELL’INFINITO DI DAVIDE RIZZA?

Ma torniamo al libro. Cos’altro c’è di nuovo ed interessante? Un sacco di roba. Innanzitutto l’incremento del sistema numerale viene applicato - per gradi - a collezioni  via via più “fitte” di elementi, rispetto ad N. Poi quelle che fin qui abbiano denominato “determinazioni” vengono meglio definite (matematicamente) come “misure” ed applicate a molti casi, alcuni semplici ed intuitivi, altri più complessi. Viene anche dimostrato il netto incremento di determinazione e di precisione che si può ottenere applicando il nuovo sistema numerale alle successioni ed alle serie. 

Infine, vengono presi in considerazione diversi “paradossi”, che non sono più tali: basta applicare il nuovo sistema numerale. Questa sezione può essere anche un  modo divertente per “intrattenere” gli studenti con applicazioni molto diverse dai soliti esercizi scolastici. Peraltro, ho già detto in precedenza che gli esercizi non mancano e ci sono anche le soluzioni. Infine, la bibliografia è molto ricca: comprende 58 elementi. 

A SCUOLA IL NUOVO SISTEMA NUMERALE FUNZIONA?

Nel mio libro “Non è colpa della statistica” ho dedicato un capitolo (“L’impossibile probabilità zero: un apparente paradosso della Statistica dovuto ad una matematica imperfetta”) al tema di questo elaborato. Ho incluso anche alcune informazioni inerenti la sperimentazione svolta nelle scuole italiane. In particolar modo si è valutata l’intuizione matematica degli studenti sia prima che dopo alcuni seminari sul nuovo sistema numerale. 

Gli autori Luigi Antoniotti, Fabio Caldarola, Gianfranco d’Atri e Marco Pellegrini, nell’articolo “New approaches to basic calculus: an experimentation via numerical computation” riassumono le loro conclusioni. I risultati sono buoni e il metodo presenta una notevole utilizzabilità da parte degli studenti, nonostante abbiano avuto tempi ridotti per l’apprendimento. Il confronto tra metodo nuovo e metodo classico, visto in un’ottica pratica ha fornito loro un buon valore aggiunto (e si è notato l’interesse dei ragazzi per il “nuovo”). L’intuizione matematica funziona molto meglio nel nuovo approccio rispetto a quello tradizionale. Tutto ciò fa pensare che l’ampliamento della sperimentazione possa avere conseguenze positive in termini di apprendimento del Calcolo. 

Alla ricerca sopra esposta se n’è aggiunta un’altra, con il medesimo obiettivo, ma attuata – nei mesi di aprile e maggio 2019 – su 70 studenti di un 4° anno di un liceo scientifico di Crotone. In questo caso, fra gli elementi che hanno spinto i ricercatori ad indagare c’è anche il fatto che gli studenti – in generale – quando hanno a che fare con il Calcolo, spesso hanno difficoltà con le operazioni di conteggio. “Ad esempio, le difficoltà collegate allo studio della probabilità sono causate dalle difficoltà nel contare gli eventi” scrivono testualmente gli autori della ricerca (Francesco Ingarozza, Maria Teresa Adamo, Maria Martino, e Aldo Piscitelli) nell’articolo: “A grossone-based numerical model for computations with infinity: a case study in an italian high school”.  

Se pensiamo agli strumenti per il bricolage, se abbiamo un avvitatore facciamo meno fatica a far entrare a mano viti a legno lunghe 3 cm, ma anche fra i cacciaviti ne esistono di più precisi rispetto alla testa della vite e di meno precisi. Per fare un buon lavoro non basta la conoscenza del metodo per svolgerlo, occorrono anche strumenti adeguati. La stessa cosa succede in Matematica e gli autori della ricerca sopra citata ribadiscono che il metodo di Sergeyev risulta superiore a quello tradizionale, dal punto di visto del trattamento simbolico, della semplicità dell’algebra utilizzata e del buon risultato ottenuto solo con l’intuizione. Proprio quest’ultimo punto mi pare il più rilevante: potrei fare il confronto con un dispositivo elettronico progettato in modo da essere di così semplice utilizzo, che è possibile usarlo immediatamente senza leggere le istruzioni. 

BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE E RAGIONATA

Naturalmente, se ho scritto quanto sopra riportato sul libro di Davide Rizza: “Primi passi nell’Aritmetica dell’infinito” (Bonomo Editore, 2023), è perché ve lo consiglio, sia a voi, sia ai vostri studenti. Poi, per i principali lavori di Sergeyev, potete consultare il sito yaroslavsergeyev.com  dove trovate una “list of papers” con pdf talvolta interamente scaricabili (e gratuiti). Se volete fare prima, potete consultare il sito specifico sul nuovo sistema numerale e in particolare la lista delle pubblicazioni (theinfinitycomputer.com/papers/). Qui trovate anche gli articoli citati nel mio lavoro. 

Se volete leggere gli articoli divulgativi che ho scritto su Yaroslav Sergeyev, vi basterà andare su Google e digitare Walter Caputo – Yaroslav Sergeyev – Gravità Zero (gravita-zero.org è il sito dove si trova la maggioranza degli articoli). Infine, se volete leggere un libro divulgativo di statistica, ottimo anche per gli studenti, con un capitolo sull’applicazione del nuovo sistema numerale alla probabilità, potete cercare: “Non è colpa della statistica”, scritto da Walter Caputo e pubblicato da C1V Edizioni nel 2023.

Walter Caputo 

Divulgatore specializzato in Scienze Statistiche

P.S.: mi sono state segnalate difficoltà di lettura del simbolo del grossone. Al posto del simbolo (l'1 nel cerchio) si vedrebbe un quadratino vuoto oppure un quadratino sbarrato. Ho effettuato delle prove: effettivamente sugli smartphone Android il simbolo del grossone non viene visualizzato, ma da computer non c'è problema. Risulta visualizzato sia se si utilizza come browser Google Chrome, sia se si utilizza Microsoft Edge.