LA TEORIA DEI GIOCHI CON UN NUMERO INFINITO DI ITERAZIONI

Marco Cococcioni - Università di Pisa

La teoria dei giochi, resa famosa dal film "A beautiful mind", a dispetto del nome, non è affatto semplice. Se poi pensiamo a cosa può succedere quando le mosse dei giocatori diventano infinite, la situazione appare ancora più oscura. Abbiamo cercato di capirci qualcosa intervistando Marco Cococcioni, Professore Associato del Dipartimento di Ingegneria Informatica dell'Università di Pisa. Anche perché quando abbiamo a che fare con gli infiniti e con gli infinitesimi, non di rado, la teoria tradizionale - per intenderci, quella che si studia al liceo scientifico (e non solo) - comincia a mostrare delle difficoltà. Si affacciano così sulla scena nuovi metodi matematici, in grado di risolvere in modo più semplice situazioni piuttosto complesse. Ma non perdiamo tempo e diamo subito la parola al Prof. Cococcioni.

1) Può spiegare innanzitutto ai lettori di Gravità Zero in cosa consiste il suo lavoro presso il dipartimento di ingegneria informatica dell'Università di Pisa?

Oltre alla didattica, che faccio con grande piacere, mi occupo di ricerca nel campo dell’Intelligenza Artificiale e del machine learning. Recentemente ho iniziato ad occuparmi di ricerca anche di teoria dei giochi, insieme a Lorenzo Fiaschi, un appassionato di quest’ultima.

2) Parliamo di teoria dei giochi, e in particolare di dilemma del prigioniero. Può dirci di cosa si tratta?

La teoria dei giochi è quella branca della matematica che si occupa dello studio delle interazioni di n agenti, in presenza di regole precise di interazione (le regole del gioco). Tradizionalmente molto utilizzata in economia, ha trovato recentemente anche molte applicazioni in ingegneria (per esempio nel campo delle telecomunicazioni).

3) Dal 2003 il nuovo sistema numerale elaborato dal Prof. Sergeyev viene applicato sia a quantità finite, che infinite ed infinitesime. In cosa consiste l'importanza di questo nuovo approccio?

Nel superamento dell’assunto fatto ormai 22 secoli fa da Archimede. Secondo Archimede, tutte le grandezze appartenevano ad uno stesso ordine di grandezza, per cui dati due numeri m ed n, con m minore di n, esiste un valore k tale che km supera n. Dunque non vi era bisogno di grandezze infinitamente più piccole/grandi di altre. Oggi abbiamo invece la netta impressione che riuscire a gestire, dentro un calcolatore, più di un ordine di grandezza, sia non solo comodo e potente, ma anche utile ed efficiente, oltre che efficace, per modellare e calcolare con modelli più complessi di quelli usati in passato. Questo concetto esiste già nell'analisi standard, basta pensare allo sviluppo di Taylor: alcuni infinitesimi sono di ordine maggiore di altri, e comunque tutti gli infinitesimi sono infinitamente più piccoli rispetto ad una qualunque quantità finita (ossia un qualunque numero reale diverso da zero).

4) In che modo l'approccio classico alla teoria dei limiti fallisce se applicato al dilemma del prigioniero, iterato "n" volte quando "n" tende a più infinito?

L’approccio all'analisi standard (alla Weierstrass, per intenderci), basato sul concetto di limite e dunque sull’uso della metodologia epsilon-delta, si rivela meno intuitivo per l’analisi di comportamenti asintotici di giochi quali il dilemma del prigioniero, ad esempio. La metodologia Grossone, introdotta da Sergeyev, rende questo tipo di analisi molto più semplice ed intuitiva. Questo permette di concepire nuove domande, e di trovare con relativa facilità le relative risposte. Queste risposte sono dei numeri, ma che possono avere componenti infinitesimi ed infiniti.

5) Perché invece la metodologia di Sergeyev funziona? 

La metodologia Grossone introdotta dal professor Sergeyev è un approccio puramente formale, basato su assiomi e postulati, con cui vengono descritti dei nuovi numeri e le relative regole per manipolarli. Si tratta di una formulazione molto più elementare dell’analisi non-standard di Robinson, dunque più accessibile ad una comunità di utilizzatori che non siano matematici di professione, eppure sorprendentemente potente.

6) La "concretezza del numero" può essere considerato un valore aggiunto del nuovo approccio di Sergeyev. Perché?

L’analisi non-standard, per lo meno per come è stata utilizzata sino ad oggi, assomiglia di più ad un approccio simbolico che ad un approccio numerico. Al contrario, la metodologia Grossone è stata pensata sin da subito in ottica numerica. Questo di per sè può avere vantaggi e svantaggi, ma l’enorme successo di linguaggi come Fortran e Matlab stanno a testimoniare come gli approcci numerici hanno in generale un campo applicativo maggiore degli approcci puramente simbolici. Inoltre un approccio numerico si presta di più a creare il relativo processore hardware. Il prof. Sergeyev è infatti riuscito anche a progettare e brevettare un nuovo tipo di calcolatore, con supporto “nativo” alla metodologia Grossone.

7) Come si ottiene - nel dilemma del prigioniero - una sorta di "strategia dominante" a prescindere dal numero di interazioni?

In realtà i risultati che Lorenzo Fiaschi ed io abbiamo ottenuto non sono a prescindere dal numero di ripetizioni del gioco, ma a fronte di un numero infinito (ma precisato, non sfocato) di iterazioni. Questa analisi è perfettamente coerente con l’approccio worst case, poiché utilizzare un numero infinito di interazioni è un buon modello per fare il calcolo evitando di utilizzare un numero finito, molto grande, la cui scelta sarebbe comunque non banale, arbitraria, e potrebbe portare a sottostimare il caso worst case. Ma l’aspetto più interessante di questo studio è il fatto che abbiamo ottenuto che alcuni giochi, che garantiscono certe prestazioni asintotiche, ora possono essere immaginati, descritti in maniera precisa, e i risultati calcolati in maniera numerica. Giochi cui probabilmente nessuno aveva ancora pensato, poiché il linguaggio dell’analisi classica non permetteva di concepirli, quanto meno non consentiva di farlo in maniera così semplice ed intuitiva. Anche perché sono comunque risultati “al limite”. Per esempio, se vogliamo avere la garanzia che la differenza delle vincite di due giocatori dopo infinite iterazioni sia maggiore di zero ma finita (ossia non diverga), abbiamo ottenuto che i payoff che debbono essere scelti debbono essere infinitamente vicini. La cosa ha perfettamente senso, però questo risultato, che è relativamente semplice da ottenere con la metodologia Grossone, non lo è affatto con l’uso dell’analisi standard.

8) Cosa succede se dall'ambito deterministico ci spostiamo verso quello stocastico?

In generale i modelli stocastici hanno un range di applicazione maggiore dei modelli deterministici, perché possono essere utilizzati in presenza di incertezza nei parametri. Ad esempio a noi ha consentito di studiare il dilemma del prigioniero nel caso di probabilità di cooperazione diverse da 0 oppure 1. Anche qui, un valore aggiunto estremamente interessante è il fatto di poter analizzare dilemmi del prigioniero non solo nel caso di payoff infinitesimi, finiti o infiniti, ma anche di probabilità finite oppure infinitesime. Le probabilità infinitesime sono utili per modellizzare eventi estremamente rari (i cosiddetti “cigni neri”, o “tempeste perfette”), che trovano applicazione nell’economia e nella finanza.

Grazie Prof. Cococcioni. Inserisco, qui di seguito - per tutti i lettori interessati - alcuni approfondimenti:

• Numerical Asymptotic Results in Game Theory Using Sergeyev’s Infinity Computing - di Lorenzo Fiaschi e Marco Cococcioni
• Un semplice modo per trattare le grandezze infinite ed infinitesime - di Yaroslav Sergeyev
• La versione Grossone dell'Hotel di Hilbert e altre utili risorse di matematica - di Walter Caputo

Walter Caputo

Docente di matematica e divulgatore scientifico