IL DIVERTIMENTO NELLA TOPOLOGIA

"Ad ogni modo a me piacciono le persone strane" afferma Michael F. Atiyah nel libro "Siamo tutti matematici", pubblicato dall'editore Di Renzo. Egli si riferisce a Sir William Rowan Hamilton, che "è stato un teorico molto originale, ma anche una persona difficile di carattere". Altrettanto strano è il personaggio di cui ho trattato tre anni fa, nell'articolo "La congettura di Poincaré". Ma la stranezza attira: quel mio vecchio articolo è il più letto in assoluto tra tutti quelli che ho finora scritto; d'altronde la topologia, che è quella parte della matematica di cui scrissi all'epoca, è senz'altro misteriosa e affascinante. Non a caso ha attratto anche me.

Il filo conduttore della topologia sembra davvero una sirena dotata di un richiamo irresistibile: lo stesso Atiyah ha dato contributi originali alla topologia ed ho già trattato un aspetto del libro citato. Inoltre, poco tempo fa, è prematuramente scomparso un matematico che ha dato un notevole impulso a questa misteriosa disciplina ed io mi sono ripromesso di tornare a parlarne, pensando di fare cosa gradita ai miei lettori (ed anche, francamente, a me stesso). E allora ho preso dalla mia libreria "Topologia" di Marco Manetti e ho cominciato a leggere.

Dopo l'introduzione, sono giunto fino a pagina 4 e mi sono beccato subito il primo esercizio. Mi è sembrata una doccia gelata: non ho ancora acquisito le basi e già mi viene proposto un enigma! Tuttavia ho deciso di prendere un quaderno e ho cominciato a scrivere il testo dell'esercizio e poi tutte le definizioni necessarie.

Esercizio 1.4 (pag. 4 del libro di Manetti citato): Sia gamma (maiuscolo) un grafo connesso in cui ogni vertice ha grado pari. Dimostrare che ogni grafo ottenuto da gamma togliendo un solo lato è ancora connesso.

Definizioni (tratte dal libro di Manetti)

Grafo connesso = un grafo si dice connesso se dati comunque due suoi nodi u e w, esiste un cammino che ha u e w come estremi.

Cammino = un cammino di lunghezza p in un grafo è dato da una successione v0, v1, vp di nodi e da una successione L1, L2,...., Lp di lati con Li che unisce v(i-1) e v(i) per ogni i. I nodi v0 e vp si dicono gli estremi del cammino.

Grado di u in gamma = se u è un nodo di un grafo gamma, chiameremo grado di u in gamma il numero di lati che contengono u. La somma dei gradi di tutti i nodi di un grafo è uguale al doppio del numero dei lati.

La mia soluzione è stata immaginare inizialmente un grafo composto da 3 nodi (u, v, w) legati da 3 rette, ovvero 3 lati (L1, L2, L3) in modo da formare un triangolo. Da ogni nodo partono 2 lati, quindi ogni nodo ha grado 2: ciò implica che ogni nodo ha grado pari, come richiesto dall'esercizio. La somma dei gradi (2 + 2 + 2 = 6) è pari al doppio del numero dei lati (2 x 3 = 6).

A questo punto ho provato a togliere un lato per volta e ho constatato che il grafo restava connesso in quanto era sempre possibile definire un cammino tra 2 nodi qualsiasi. D'altronde, 2 nodi anche se privi di un collegamento diretto e più veloce, restavano connessi tramite il terzo nodo. Però la dimostrazione non mi è apparsa completa poichè il grafo, forse, poteva anche non essere composto di soli 3 nodi. Allora ho pensato al successivo (rispetto a 2) numero pari, ovvero 4: da ogni nodo potrebbero partire 4 lati. Però non è possibile creare un nuovo nodo collegato ad un solo lato, perchè in questo modo si violerebbe uno dei vincoli dell'esercizio.

Così ho dedotto che, volendo un grado 4, il triangolo avrebbe soltanto lati doppi o, in caso di grado 6, lati tripli e via dicendo. Ma questo non modifica la conclusione precedente: togliendo un lato per volta il grafo continua a restare connesso. Mentre sto scrivendo, a furia di pensarci, ho immaginato una figura romboidale con 4 nodi (invece di 3) e da ogni nodo potrebbero partire 6 lati, quindi avrei comunque rispettato i vincoli con un grafo più complesso. Anche in questo caso il grafo resterebbe connesso. Credo di aver fatto un ottimo allenamento di creatività e immaginazione!

Voi direte: ma ci si può divertire in questo modo? Assolutamente sì, e proprio ora mi rendo conto di aver dimenticato quanto mi hanno fatto arrabbiare alcuni miei studenti stamattina.... Credo che andrò a dormire tranquillo.