LA RELATIVITÀ: FORSE UN PARADOSSO?

Un lettore ci scrive i suoi dubbi sulla relatività di Einstein, in particolare sulla validità delle trasformazioni di Lorentz-Einstein e sulla possibilità di aver incontrato un paradosso. Cercherò di spiegare cosa in realtà succede in questa particolarissima situazione proposta.

Il dubbio

  Un veicolo di un metrocubo di capacità es automobile, viaggia in un tunnel chiuso dove sono presenti 1000 molecole di gas per metrocubo, raggiunta una velocità tale che, secondo le trasformazioni di lorentz, tale veicolo appare per il tunnel più corto della metà (radice di 3*c/2 e  questo solo per semplificare i calcoli), chiudendo i finestrini, per il tunnel, nel veicolo, ci sono 500 molecole di gas; per il veicolo ce ne sono 2000  essendosi accorciato il tunnel e non il veicolo secondo il sistema di riferimento ad esso solidale: chi ha ragione? rigraziandovi attendo una vostra risposta.

La risposta

  La teoria della relatività scaturisce dalle trasformazioni di Lorentz-Einstein ma anche e soprattutto da alcuni principi generali che hanno come effetto la conservazione del quadrivettore energia-impulso e la totale simmetria tra sistemi di riferimento in moto relativo. La domanda del nostro lettore e' molto interessante perché mette in evidenza alcuni dubbi comuni che spesso vengono considerati come un non senso della realtivita o come dei limiti nella descrizione della realtà.

  Il pilota di una speciale navetta sta per partire per un viaggio che lo porterà attraverso un lunghissimo tunnel da un punto ad un'altro della Terra. Nel tunnel per ridurre gli attriti viene rarefatto il gas fino a 1000 molecole di ossigeno per metro cubo. Una quantità sicuramente insufficiente alla vita, ma supponiamo che il pilota usi una tuta con una maschera ad ossigeno. Prima di partire aprendo il portello, le pressioni dei due ambienti si uniformano, così anche nella navetta c'è la stessa identica concentrazione molecolare del tunnel. Supponiamo che a bordo della navetta ci sia un sensore in grado di misurare quante molecole al metro cubo sono presenti nel tunnel.  Subito dopo la partenza un sistema di accelerazione elettromagnetica di nuovissimo tipo ma non chiediamoci quale, porta la navetta ad una velocità v tale da raggiungere un fattore gamma di Lorentz uguale a 2. Il tunnel e' buio, il che fa si che il pilota possa misurare la lunghezza del percorso solo tramite il suo orologio di bordo nota la velocità di percorso. I segnali temporali di partenza e di arrivo della navetta vengono registrati nello stesso luogo con lo stesso cronometro digitale posto all'interno della navetta, pertanto il tempo misurato dal pilota e' per definizione un tempo proprio al pari della lunghezza del tunnel per un osservatore solidale. Il pilota vede scorrere con regolarità il tempo sull'orologio di bordo ma con il suo densimetro molecolare di bordo misura durante il viaggio all'interno del tunnel e all'esterno della navetta una concentrazione esterna di molecole pari al doppio di quella in partenza: ben 2000 molecole al metro cubo, curioso vero?  Dentro la navetta la concentrazione non e' però cambiata, tutto è come prima. Giunto al termine del viaggio dopo un tempo T ma un attimo prima di fermarsi, il pilota calcola in accordo can le trasformazioni di Lorentz che per il suo sistema di riferimento ha percorso una distanza vT/gamma pari al 50% della lunghezza di riposo de tunnel fornita dall'impresa costruttrice.

  Lungo il tunnel e' sistemata una postazione di controllo che osserva il transito della navetta. Il controllore vede transitare la navetta. La lunghezza della navetta, misurata al passaggio della stessa davanti ad una medesima cellula fotoelettrica, risulta contratta del 50%. Al momento in cui la navetta viene osservata transitare il suo volume interno appare perciò contratto del 50% quindi la concentrazione molecolare dell'ossigeno racchiuso all'interno e' raddoppiata, in quanto anche le distanze tra le molecole nella direzione del moto si contraggono del 50%.  Per il controllore, dentro la navetta c'è una concentrazione di 2000 molecole al metro cubo. Nel tunnel invece la concentrazione per lui rimane di 1000 molecole al metro cubo.

  Esaminiamo ora il problema dal punto di vista energetico. La massa delle molecole e': concentrazione raddoppiata 2D, per massa molecolare M, per area della sezione del tunnel A, per lunghezza L/2: quindi l'energia del tunnel osservata dal pilota e' sempre la stessa perché il doppio della concentrazione si dimezza con la metà del percorso, il che' dal punto di vista relativistico e' del tutto normale, perché la massa di riposo del sistema non deve ovviamente cambiare. Per il controllore che osserva la navetta accade esattamente la stessa cosa. Quando la navetta si arresta tutto torna come prima per entrambi gli osservatori, anche le concentrazioni di ossigeno.

  A parte l'assurdità di aprire il portello della navetta in movimento a quella velocità, dal punto di vista del pilota della navetta dovrebbero entrare nell'abitacolo tante molecole quante ne servirebbero per equilibrare le concentarzioni relative dei due ambienti, creando rispetto al pilota un aumento di massa della navetta e una conseguente riduzione di massa del tunnel (trascuriamo il problema del vento di molecole), viceversa per l'osservatore posto lungo il tunnel. A questo punto il pilota decide di chiudere il portello. Arrivato a destinazione, prima di aprirlo il pilota misura la concentrazione interna ed esterna di gas e scopre che sono perfettamente uguali, perché? Per rispondere a questa domanda ci dobbiamo mettere dal punto di vista delle molecole solidali prima col tunnel e poi con la navetta. Ogni molecola nel tunnel che improvvisamente si trova il finestrino aperto della navetta deve decidere se entrare o meno. Dobbiamo sapere che una molecola fluisce sempre nella direzione di minor resistenza, quindi essendoci dal punto di vista del tunnel una concentrazione di gas doppia all'interno della navetta, la molecola decide di restare dov'è. Ugualmente accade per le molecole interne alla navetta, essendoci per loro nel tunnel una concentrazione doppia di quella interna restano tutte li dove sono e tutto resta come prima sia che il portello sia aperto o chiuso. Quindi nessun paradosso.