LA GEOMETRIA DELLE NUVOLE ALLA FESTA DELLA MATEMATICA (1° PARTE)

12 marzo 2010: Festa della Matematica a Torino. Stamattina il traffico era congestionato a causa di una manifestazione in centro. Sono riuscito comunque a giungere in tempo per assistere alla prima conferenza.

All’ingresso ho visto parecchi ragazzi: se penso che sono tutti qui per la matematica, non mi sembra vero. Questa folla di adolescenti mi rende felice. Qui c’è davvero una festa. E partecipo anch’io.

L’infopoint è preso d’assalto, ma cerco di fare slalom fra studenti, insegnanti e organizzatori per controllare la mia registrazione effettuata sul sito. Mi chiamo Walter Caputo, dico all’addetto. “Istituto Galileo Galilei” aggiungo. “Di Avigliana ?” mi risponde. “No, di Torino”. Di fronte al suo stupore dichiaro che si tratta di una scuola privata, e sì, sono solo. Purtroppo gli studenti delle scuole private non sono molto interessati alla Festa della Matematica. Preferiscono l’i-pod o la playstation.

Seduto comodamente nella sala 6 del cinema Pathé, presso il Lingotto Gallery di Via Nizza 230, attendo l’inizio della conferenza del Prof. Franco Pastrone, ordinario di Fisica Matematica presso l’Università di Torino.

La sala è quasi completamente piena di ragazzi, neanche fosse una prima cinematografica. Si tratta dell’ottava edizione della Festa della Matematica. Sono previste due conferenze, una mostra di esperimenti scientifici realizzati dagli studenti, la gara a squadre per le Olimpiadi della Matematica e la gara aperta al pubblico.

Il Prof. Pastrone ringrazia soprattutto il principale sponsor della manifestazione: la Compagnia di San Paolo, senza la quale non si sarebbe potuto fare nulla.

“La geometria delle nuvole: dai frattali al caos” sta per iniziare. Sono qui perché sono un insegnante (soprattutto di) matematica, perché mi sento un “inviato di Gravità Zero”, ma soprattutto perché mi piace la matematica e la fisica. Ed una serie di circostanze fortunate mi ha consentito di essere presente stamattina. Ora è di scena la fisica, e so già che non sarà facile seguire la conferenza: spero solo che il relatore faccia il possibile per coinvolgere i circa 600 presenti.

La prima immagine proiettata è un grosso cavolfiore romano, che viene gradualmente ingrandito, dopo che sono state selezionate alcune sue parti. Si vede chiaramente che ogni piccola parte del vegetale assomiglia all’intero cavolfiore. Quindi esso è formato da parti la cui forma è simile alla forma dell’insieme delle parti. La somiglianza non è perfetta, ma è, diciamo, molto buona. Tale fenomeno, che caratterizza il cavolfiore, prende il nome di “auto similarità”.

L’auto similarità, cioè la somiglianza di un oggetto su piccola scala con se stesso su scala più grande, non è una caratteristica esclusiva dei cavolfiori, in quanto riguarda anche – ad esempio – le felci e le nuvole. E proprio le nuvole, filo conduttore della conferenza, vengono mostrate in una sequenza di immagini, alcune delle quali rappresentano vere nuvole, altre invece ritraggono nuvole “finte”, generate tramite computer usando soprattutto la teoria dei frattali. Ma nessuno dei presenti riesce a identificare le vere nuvole: ad occhi non esperti appaiono tutte uguali.

Ora che scrivo gli appunti presi durante la conferenza, mi rendo conto che Pastrone ha tenuto più una lezione universitaria che non una conferenza divulgativa di fisica e matematica, tanto è vero che ha citato molti termini senza darne adeguata definizione o almeno cercare di comunicare ai presenti un’idea dell’oggetto in discussione. Occorre considerare che probabilmente la maggior parte degli studenti in sala aveva basi di fisica e matematica, ma non sufficienti per seguire il discorso.

Così, in questo articolo, cerco di aggiungere ciò che manca, in modo che il lettore possa agevolmente seguire il filo conduttore della conferenza.

Stavamo parlando quindi di auto similarità, cioè di una proprietà dei frattali. Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.

Il Prof. Pastrone spiega che un frattale è una sorta di oggetto formato da parti ignote, un po’ come una poesia composta da elementi sconosciuti. E proietta a tal proposito una poesia tratta da “Attraverso lo specchio” di Lewis Carrol (opera del 1871 nella quale l’autore riprende l'eroina di Alice nel paese delle meraviglie in un ulteriore viaggio di fantasia), aggiungendo che essa fornisce metafore ai fisici teorici, agli astrofisici e ai fisici delle particelle.

Tale poesia inizia con i seguenti versi

“irrat ilgil i e eccoc a are'S

,ottehcsip len navallertrig

irranicnec i icsol ittut

.ottets egnol navaigguffu”

che sono assolutamente incomprensibili, ma letti allo specchio, diventano

“S'era a cocce e i ligli tarri

girtrellavan nel pischetto,

tutti losci i cencinarri

suffuggiavan longe stetto.”

che non sono comunque chiari, come la stessa Alice rileva nel libro, poiché composti da parole sconosciute, proprio come i frattali o anche… le coste della Cornovaglia, che sono l’oggetto della successiva immagine. Esse, viste sempre più nel dettaglio tramite una sorta di lente di ingrandimento (che in realtà è una trasformazione geometrica chiamata omotetia che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma), appaiono sempre più frastagliate, ma anche sempre più simili alla forma della costa fuori dall’ingrandimento, quindi rivelano la loro natura di frattali.

Si potrebbe essere interessati a misurare la lunghezza delle coste della Gran Bretagna, ma il problema è – appunto – la loro irregolarità. Tramite immagini il Prof. Pastrone visualizza diverse possibili misure: le prime piuttosto grezze, ottenute tramite unione di rette che formano una spezzata (ma spezzata in pochi punti); quelle successive sono sempre più raffinate in quanto ottenute dall’unione di segmenti di retta sempre più piccoli. Si vede chiaramente che – passando da misure più grezze a misure più raffinate – la lunghezza continua ad aumentare e, siccome non c’è limite alla possibilità di essere precisi, anche la lunghezza continua ad aumentare indefinitamente. Il punto d’arrivo finale è una spezzata, così tanto spezzata da non aver più neanche un tratto curvo e quindi tale da non ammettere tangente in alcun punto. Eppure la lunghezza delle coste della Gran Bretagna è sicuramente finita. “Ma ciò non deve sorprendervi !” annuncia enfatico il relatore.

E continua ricordando ai presenti i precursori della teoria dei frattali: Peano e Von Koch. Giuseppe Peano, nel 1890, scoprì una curva, che – se riprodotta uguale a se stessa per un numero infinito di volte – è in grado di “ricoprire” interamente un quadrato. La Curva di Koch è invece una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. È apparsa in un documento del 1904 intitolato "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" (Su una curva continua senza tangente, ottenuta tramite costruzione geometrica elementare) del matematico svedese Helge von Koch. Ciò che riunisce tutti questi contributi è sempre il concetto di auto similarità: grazie alla curva di Koch è possibile costruire il “fiocco di neve di Koch”, che è auto similare. In maniera analoga il “tappeto di Sierpinski” è un frattale ottenuto a partire da un quadrato. E sembra un semplice gioco, ma da 4-5 anni serve anche a modellare la percolazione di fluidi attraverso mezzi porosi.

Concludo qui la prima parte del resoconto della conferenza, poiché a questo punto gli studenti hanno mostrato chiare difficoltà a seguire il filo conduttore: troppi concetti in troppo poco tempo. Credo che quindi anche il lettore si sia stancato. Racconterò la seconda parte della conferenza in un prossimo articolo.