LA CONGETTURA DI POINCARÉ

Se ti piace scoprire cose nuove e tua moglie ti regala – per il tuo compleanno – "L’enigma di Poincaré" (di George G. Szpiro – Apogeo 2008), allora è molto probabile che inizierai a leggerlo. Se lo farai, non sarai più in grado di smettere, perché tratta dell’avventura umana della matematica ed è scritto quasi come un romanzo giallo. Con ciò non voglio dire che se inizi, sarai vittima di un incantesimo e dovrai finirlo in giornata, tralasciando aspetti irrilevanti della tua vita come mangiare, dormire e andare in bagno, ma semplicemente che non riuscirai ad abbandonare questo libro sul comodino.

Nel mio caso, le cose sono andate proprio come sopra descritte, ma – essendo un appassionato di scienza e divulgatore scientifico – non posso far a meno di raccontare ai miei lettori almeno qualche elemento del testo. Trattandosi di un argomento intrinsecamente difficile, l’impresa che mi propongo è piuttosto ardua, tuttavia mi sono già esercitato con una mia studentessa, mia moglie e – soprattutto – mio figlio, che ha poco più di otto mesi, e non ha avuto assolutamente nulla da obiettare.

Cominciamo dal concetto di teorema. Un teorema non è altro che un enunciato corredato da una dimostrazione matematica. Dunque possiamo dire, entro i limiti della matematica, che un teorema è un’affermazione vera. Invece una congettura è un teorema non dimostrato, quindi si tratta di un’affermazione che può essere vera o falsa. Perché mai un matematico dovrebbe fare un’affermazione senza dimostrarla? Bè, possono esserci parecchi motivi: ad esempio perché non ci riesce, oppure muore prima di riuscirci, oppure ritiene che sia vera, ma non se la sente di esporsi al controllo della comunità dei matematici, e così preferisce lasciare ai posteri l’arduo dilemma. Qualcosa del genere successe proprio ad Henri Poincaré (Nancy 1854 – Parigi 1912), il matematico francese la cui congettura, pubblicata nel 1904, impegnò schiere di matematici per tutto il ventesimo secolo. Solo nel 2006, salendo sulle spalle dei giganti che lo avevano preceduto, un eccellente matematico russo di nome Grigorij Perel'man, è riuscito nell’impresa: ha concluso la dimostrazione della congettura di Poincaré, rivelatasi quindi vera (come sospettava il suo autore), meritando la prestigiosa Medaglia Fields (che peraltro ha rifiutato).

Ma torniamo al principio, per cercare di capire innanzitutto quale fosse il contenuto della congettura di Poincaré e per quale motivo dovrebbe interessarci. Il settore della matematica in cui si inserisce la congettura si chiama topologia. La topologia è un genere di matematica che nasce a metà 800 grazie a Bernhard Riemann (Breselen, Hannover 1826 – Selasca, Italia 1866), ma diventa disciplina autonoma soprattutto ad opera di Poincarè agli inizi del 900.

Essa studia le forme degli oggetti senza far ricorso alle misure (tipiche della geometria), assumendo come unico concetto di equivalenza fra le figure quello della continuità. Ciò implica che un oggetto topologico (che si può immaginare come se fosse fatto di pongo) può deformarsi a piacimento (purché non lo si strappi o lo si tagli) senza alterare la sua natura. Di conseguenza un quadrato è equivalente ad un disco. Un quadrato non è però equivalente a un quadrato con un buco nel mezzo, perché, in prossimità del buco, la continuità viene a mancare.
Il punto di vista della topologia è diverso da quello della geometria euclidea, che deriva dalla capacità umana di valutare le distanze, e quindi dalla possibilità di vedere e toccare oggetti vicini a noi. Secondo la geometria euclidea, ad esempio due cerchi sono differenti se hanno un raggio diverso, e quindi si può stabilire che un cerchio è più grande e l’altro è più piccolo. Inoltre il topologo valuta le figure in maniera differente anche rispetto alla geometria proiettiva, secondo la quale due figure sono equivalenti se possono essere proiettate una sull’altra.

La topologia è una scienza recente che ha elaborato una serie di nuovi oggetti, che solo in minima parte possono essere rappresentati graficamente in maniera precisa. Per lo più gli oggetti topologici sono così strani, che possono essere individuati soltanto tramite una descrizione della loro costruzione (a partire spesso da oggetti familiari), a condizione di possedere una notevole capacità di astrazione per poterli "immaginare".

Ci si potrebbe allora chiedere a che cosa serva la topologia. Ebbene: essa ha un’importante diffusione nella scienza moderna. In Fisica, in Teoria delle Particelle Elementari e in Cosmologia se ne fa un uso massiccio. Ma, in ogni caso, dobbiamo pensare che potrebbero esistere esotici oggetti topologici, di cui non abbiamo ancora percepito la presenza. Non fraintendetemi, sto semplicemente parlando del fatto che una formica, ferma su un uovo, non ha molte possibilità di accorgersi che si tratta proprio di un uovo, mentre una mosca è avvantaggiata dal fatto di poterci volare intorno; meglio ancora l’uomo può prendere in mano l’uovo ed esplorarlo completamente. Ad esempio la nostra difficoltà di comprendere la forma dell’Universo risiede proprio nel fatto che, rispetto all’immensità dell’Universo, noi siamo una formica, dotata di piccolissime capacità di volare.

Ora, se avete anche solo un’idea di cosa sia la topologia, potete comprendere, in maniera intuitiva, cosa sia la congettura di Poincaré. Gran parte degli oggetti che manipoliamo hanno tre dimensioni spaziali, ad esempio il libro di George G. Szpiro, appoggiato sulla mia scrivania, può essere completamente localizzato tramite le misure di lunghezza, larghezza e spessore. La stessa cosa vale naturalmente per un uovo, ma se invece volessimo riferirci soltanto al guscio dell’uovo (o alla copertina del libro) ? Si tratterebbe della superficie di un oggetto tridimensionale: tale superficie perde necessariamente una dimensione, diventando solo bidimensionale. Quindi il guscio dell’uovo, il cuoio di cui è costituito un pallone da calcio, le facce esterne di un cubo o di una piramide egizia, sono tutti oggetti bidimensionali. Se avvolgiamo un elastico intorno al guscio di un uovo, comprendiamo intuitivamente che l’elastico può essere contratto in un singolo punto e il guscio ridotto ad una sfera.
Ma Poincaré si chiese se i corpi tridimensionali, i cui elastici possano essere tutti contratti ad un punto, possono essere trasformati in una sfera. Quindi la risposta al problema posto è sicuramente positiva per oggetti mono e bidimensionali, ma da ciò non è assolutamente semplice dedurre la validità della congettura per oggetti di dimensioni superiori.

Ed infatti ci vollero oltre cento anni affinché la congettura di Poincaré venisse dimostrata come vera, e tutto ciò avvenne gradualmente, grazie allo sforzo di molti matematici. Alcuni cercarono un controesempio, che potesse distruggere la validità della congettura stessa. È noto che un solo esempio, contro un’affermazione matematica, è sufficiente per minare la validità dell’affermazione stessa. Ma nessuno ci riuscì.
Coloro che invece lavorarono per ottenere una dimostrazione, talvolta non approdarono a nulla, ma col trascorrere del tempo alcuni specialisti introdussero nuovi strumenti matematici, grazie ai quali altri riuscirono ad ottenere una dimostrazione parziale, valida solo per le dimensioni elevate. Sembra paradossale, ma il problema venne risolto prima per le dimensioni più grandi, poiché in quei casi si hanno "maggiori libertà di movimento". Al contrario, nelle basse dimensioni, i vincoli sono maggiori e possono portare facilmente al blocco, all’incapacità di proseguire quando non si intravede una via d’uscita. Ad esempio, se ci limitiamo strettamente al piano di un tavolo, sul quale è posto un cerchio, ci troviamo nelle basse dimensioni (due) e la nostra possibilità di muovere il cerchio è limitata al suo spostamento in una delle quattro direzioni. Se invece ci troviamo in dimensioni più elevate (tre) le nostre possibilità aumentano: disponendo dello spazio possiamo staccare il cerchio dal tavolo, manipolarlo fino a farlo diventare un 8 e poi riporlo nuovamente sul tavolo.

Ho già detto che fu Grigorij Perel'man a concludere questo importante lavoro e ad ottenere la dimostrazione anche per le basse dimensioni. Il libro G. G. Szpiro narra tutti i drammi che molti matematici dovettero affrontare e ci spiega che anche i matematici sono esseri umani (con le loro debolezze) e che lavorano duramente come tutti gli altri, per avere di che mangiare oppure per la gloria o, come Perel'man (che rifiutò spesso onori e denaro), soltanto per la matematica. Perché la soddisfazione di aver risolto un problema molto difficile è la massima gratificazione per un matematico.