GEOMETRIA E NUMERI: LA POTENZA DI UN POLINOMIO

Pochi ricordano lo sviluppo del quadrato di un binomio (a + b)², meno ricordano la terza potenza (a + b)³ e sempre di meno ricordano lo sviluppo della potenza n-esima (a + b)ⁿ.

Penso però di non sbagliarmi affermando che quasi nessuno ricorda lo sviluppo della potenza n-esima di un polinomio qualunque (a1 + a2 + … + am)ⁿ. La formula scoperta da G.W. Leibniz nel 1676, fornisce un semplice e comodo metodo per la scrittura meccanica dello sviluppo.

Parecchi anni fa ormai, ormai ben 24, stavo scrivendo un libro di matematica applicata e provai a pensare ad un metodo semplice per ottenere sia la formula di Newton per lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio che per estensione quella di Leibniz. Un modo che mi sembrò particolarmente semplice fu affrontare il problema dal punto di vista geometrico e combinatorio allo stesso tempo.

Per affrontare la dimostrazione, occorre partire dal caso più semplice. Supponiamo di avere due bastoncini di legno di lunghezza a e b generalmente diversa, in modo che la loro somma sia pari alla lunghezza del segmento l = a + b. Dimostrare lo sviluppo dell’area del quadrato

A = l² = (a + b)²

per via algebrica è facile, ma la potenza n-esima lⁿ come si dimostra?

1 - QUADRATO E CUBO DI UN BINOMIO

Per prima cosa definiamo un insieme di due elementi, quello dei bastoncini U = {a, b}. Supponiamo che l’insieme sia un’urna dalla quale estratto un elemento lo si ripone nuovamente nell’urna (reimbussolamento) per poter effettuare una seconda estrazione, una terza, ecc. Ciò comporta che un tizio volendo comporre con i bastoncini a e b il segmento l, dovrà estrarre una sola volta a e una sola volta b. Per poter comporre l’area A dovrà invece effettuare due estrazioni, una per ogni dimensione spaziale (piano = 2 dimensioni): estratto il primo bastoncino questo potrà essere a oppure b, poi dopo averlo reimbussolato, nella seconda estrazione avrà nuovamente le due possibilità a oppure b, ottenendo come sequenza di casi possibili:

aa, ab, ba, bb

Componendo su due dimensioni le coppie di bastoncini estratti, si ottengono due quadrati distinti e due rettangoli uguali, che accostati opportunamente formano l’area di un quadrato di lato l. Potevamo sapere prima quante figure avremmo ottenuto? Certo potevamo, perché estraendo dall’urna due volte gli stessi due bastoncini, si hanno tante possibilità di comporre figure distinte quante sono i modi di disporli, quindi le disposizioni possibili

D’2,2 = 2² = 4.

Dal punto di vista della misura delle aree, mentre i rettangoli ab e ba hanno uguale area, quindi sono equivalenti, i quadrati a² e b² hanno area differente. Potevamo sapere prima quante di ciascuna di queste figure equivalenti avremmo potuto ottenere? Si, basta pensare a quanti modi distinguibili (permutazioni con ripetizione) esistono per sistemare ciascuna forma nel piano:

Quadrati: (aa, bb) 2!/2! = 1
Rettangolo: (ab) 2!/(1!1!) = 2
[si consideri che 0! =1 e n! =n(n-1)(n-2) ... 2 1. es. 3!= 3 2 1= 6]

__________________

1a² + 2a¹ b¹ + 1b²

Per la terza potenza invece si avranno D'2,3 = 2³ = 8 monomi

Cubi: (aaa, bbb) ciascuno con molteplicità 3!/3! = 1
Parallelepipedi: (aab, bba) ciascuno con molteplicità 3!/(2! 1!) = 3
____________________________

1 a³ + 3 a² b¹ + 3 a¹ b² + 1 b³

2 - POTENZA n-ESIMA DI UN BINOMIO: LO SVILUPPO DI NEWTON

Osservando attentamente gli esempi precedenti, se ho potenza 4 avrò tutte le combinazioni con ripetizione dei 4 elementi e per ciascuna avrò un numero di modi distinguibili uguale alle permutazioni con ripetizione:

(aaaa) 4!/(4! 0!) = 1
(aaab) 4!/(3! 1!) = 4
(aabb) 4!/(2! 2!) = 6
(abbb) 4!(1! 3!) = 4
(bbbb) 4!(0! 4!) = 1
____________________________________

1 a⁴ + 4 a³ b¹ + 6 a² b² + 4 a¹ b³ + 1 b⁴

perciò in generale per un termine qualunque di grado n si avrà
(a + b)^n = a^n +…+ P'n,m a^m b^(n-m) + … + bⁿ
con: P'n,m = n!/[m! (n-m)!]

3 - POTENZA n-ESIMA DI UN POLINOMIO: LO SVILUPPO DI LEIBNIZ

Se nell’urna i bastoncini diventano tanti, per esempio un numero r : U = {a1, a2, …, ai, …, ar}, la potenza del polinomio (a1 + a2 + … ai …+ ar )ⁿ sarà formata da uno sviluppo i cui monomi dovranno solo sottostare alla regola che la somma del grado parziale ni di ciascun elemento ai è uguale al grado totale n del polinomio: n = n1 + n2 +… + ni + … + nr .

Estendendo il ragionamento ad un monomio di grado n, il suo coefficiente sarà

P’ n1 + n2 +… + ni + … + nr = n! /( n1! n2!… ni ! … nr!)

Per esempio nel caso

(a + b + c )⁵ = a⁵ + b⁵ + c⁵ + … + P’2+3+1 a² b³ c¹ + … + P’0+2+3 b² c³ + …

con P’2+3+1 = 5!/(2! 3! 1!) = 10 e P’0+2+3 = 5!/(0! 2! 3!) = 10.

Vi sembra complicato? Provate a scrivere lo sviluppo di (a + b + c + d)⁷ algebricamente e cambierete idea!