PASSIONI D'AMORE E MATEMATICA / 2

Dopo l'unica e breve parentesi di Steven Strogatz [1], è un italiano, Sergio Rinaldi, professore ordinario di Teoria dei Sistemi al Politecnico di Milano, ad occuparsi degli studi sulle dinamiche dell'amore in chiave matematica [2]. 

E questo lo fa analizzando le variabili in gioco nel corso della passione amorosa scoccata tra due giovani poco più che ventenni e nota a qualunque studente delle superiori, che si svolse alcune centinaia di anni fa. Precisamente nel quattordicesimo secolo! 

Si tratta questa di una delle dimostrazioni d'amore più celebrate di tutti i tempi, quello tra il poeta italiano Francesco Petrarca e Laura, nella raccolta di poesie il Canzoniere [3]. Come è noto siamo di fronte a una pietra miliare della letteratura italiana, che segna il passaggio dal medioevo all'epoca moderna.

Rinaldi riflette su un problema tuttora aperto. "Come è possibile - si chiede - che da quando il calcolo differenziale venne introdotto da Isaac Newton, tutti i fenomeni fisici, biologici, economici e quelli presenti in numerose altre scienze siano stati studiati con accuratezza ad esclusione di uno tra più importanti problemi che riguarda intimamente le nostre vite: le dinamiche dell'amore?".

Rinaldi parte da alcuni considerazioni iniziali: si sa che Petrarca conobbe Madonna Laura, una donna sposata, nella chiesa di Santa Chiara nella città francese di Avignone il 6 aprile 1327, all'età di ventitré anni. I successivi ventun'anni, il poeta li passerà a descrivere il proprio amore, sovente non ricambiato, per lei. Dalle sue poesie è possibile ascrivere un resoconto completo del suo desiderio appassionato, ma anche dei suoi sbalzi d'umore nel tempo. Petrarca descrive in maniera a volte delirante la propria passione, seguita da periodi di disperazione per la totale indifferenza dell'amante, per poi nuovamente perdonarla appena lei si rivolgeva a lui con uno sguardo. 

E sappiamo cosa potesse vole dire uno sguardo di approvazione a quei tempi: qualcosa di veramente piccante! Il lavoro di Rinaldi prende in considerazione dapprima uno studio condotto da Frederic Jones, dell’Università di Wales, Cardiff, che quindici anni prima aveva svolto [4] una attenta analisi linguistica e stilistica del Canzoniere. Jones divise le poesie preferendo quelle in cui Laura era ancora viva, assegnando un valore che va da −1 a +1 per ogni poema. Il massimo grado (+1) corrisponde all'estasi amorosa mentre il più basso (-1) a disperazione profonda, come nel sonetto LXXIX

Così mancando vo di giorno in giorno, sì chiusamente, ch’i’ sol me ne accorgo et quella che guardando il cor mi strugge.

Gradi intermedi invece indicano un sentimento più simile all'ardore, all'amore sereno, all'amicizia benevola. Come ad esempio troviamo nel sonetto CLXXVI, dove Petrarca scrive:

Parme d’udirla, udendo i rami et l’ore et le frondi, et gli augei lagnarsi, et l’acque mormorando fuggir per l’erba verde.

quantificabile con un −0.45 (corrispondente a melanconia). Anche il comportamento di Laura è descritto con minuzia, come ad esempio nel CXLIX in cui il sentimento verso di lei si fa meno sofferente e più fiducioso nel ricambiato amore.

Di tempo in tempo mi si fa men dura l’angelica figura e’l dolce riso, et l’aria del bel viso e degli occhi leggiadri meno oscura

Le date e i valori per ciascuno dei 23 poemi presi in considerazione da Jones sono rappresentati dal seguente grafico, insieme ai segmenti di interpolazione. E qui si ha un primo indizio: dalla distanza tra i segmenti traspare una certa regolarità. Come se appartenessero a circostanze che presentassero una cerca ciclicità. In altre parole ci si accorge di come il Petrarca cambiasse i suoi sentimenti nei confronti di Laura all'incirca ogni quattro anni. Jones completò poi il lavoro con le poesie non datate (gli studiosi si sono sempre sforzati di ritrovare l'ordine cronologico dei versi) collocandole all'interno del ciclo facendosi aiutare non solo dal loro contenuto stilistico ma anche da informazioni storiche o geografiche sulla vita del Petrarca. 

I dati combaciavano ma Jones si rese conto che per provare il suo schema era necessario l'utilizzo di un modello matematico. Ed è qui che Rinaldi gli corre in aiuto, descrivendo con L(t) il rapporto di Laura con il poeta. Come Steve Strogatz aveva descritto minuziosamente tutti i sentimenti che potevano nascondersi nella vicenda amorosa di Romeo e Giulietta, così Sergio Rinaldi descrive in 3 sole equazioni il sentimento di vent'anni di passioni e delusioni attraverso la carica poetica che influenzò Petrarca nel suo Canzoniere: In queste tre minute equazioni c'è tutto l'intero mondo e la vita amorosa di un poeta della grandezza del Petrarca.

C'è da puntalizzare, come precisa Rinaldi, che questo modello rappresenta le personalità di Petrarca e di Laura ermergenti da "tutte le poesie del Canzoniere", e non solo dai particolari 23 poemi (quelli databili durante la vita di Laura) studiati empiricamente da Jones. Lo studio assume qui dunque un valore più generale oltre che rigoroso.

Con un po' di esercizio, comprendere le tre equazioni non è difficile. E' infatti evidente che L sta per Laura e P per Petrarca. Le tre equazioni descrivono l'interrelazione tra l'interesse di Laura, la passione del Petrarca e la creatività poetica di quest'ultimo. Ognuna di queste tre equazioni descrive in maniera decisiva l'aspetto che prenderà il Canzoniere nel corso della vita amorosa dei due amanti.

Potenza della matematica! Vediamo ora di capire, cercando di essere più chiari possibile, cosa rappresentano per noi le tre equazioni. Nella prima equazione valori positivi di L esprimono inclinazioni positive, amicizia, simpatia mentre i valori negativi esprimono freddezza e avversione.

L'equazione consiste di tre termini: il primo (che diventa negativo per valori positivi di L) descrive quel processo di oblio che caratterizza i sentimenti durante il loro cambiamento. Il secondo, chiamato RL (P), è la reazione di Laura per l'amore del Petrarca. Infine il terzo è la risposta di lei a questo suo richiamo.

Siccome la personalità di Petrarca è però piuttosto complessa è necessario introdurre altre due variabili: P(t) che esprime l’amore per Laura e Z(t), che esprime l'ispirazione poetica del Petrarca e che condiziona i suoi sentimenti amorosi. L'equazione (2) è simile alla (1) ma con una eccezione: la risposta di Petrarca per Laura dipende anche dalla sua ispirazione Z. Questa conclusione parte dal presupposto che alte inclinazioni morali, come quelle dettate dall'ispirazione artistica, possono influenzare i più bassi istinti. Per esempio nella sestina XXII, egli scrive

Con lei foss’io da che si parte il sole, et non ci vedess’ altri che le stelle, sol una nocte, et mai non fosse l’alba;

mentre da Posteritati, le epistole, noi sappiamo che mentre scriveva altri impulsi meno poetici lo divoravano!

Egli confessò infatti che: “Libidem me prorsus expertem dicere posse optarem quidem, sed si dicat mentiar” [trad. "Mi piacerebbe poter credere che sia assolutamente senza libidine, ma se lo dicessi so che mentirei"]. La seguente formula (contenuta nella seconda equazione) descrive invece con estrema eleganza una constatazione universale: che, tranne in presenza di rare patologie, "tutti amiamo essere amati e odiamo essere odiati".

La matematica che sta dietro queste tre formule permette di esprimere sentimenti contrastanti che si instaurano nella coppia. Alcuni di questi sentimenti traspaiono dalle equazioni differenziali e indicano:

• Come Laura e Petrarca rispondono l'uno al richiamo dell'altro
• Le variazioni nei sentimenti dell'uno alla mancanza di attenzioni dell'altro
• L'influenza sull'ispirazione poetica di Petrarca generato dalla sua passione per Laura
• Come il tempo dedicato alla poesia influisca positivamente sull'ossessione di lui per lei
• La repulsione di Laura quando questa viene travolta dalla passione del poeta per lei
• Come Laura si dispiaccia per lui quando sa che sta patendo le pene del suo rifiuto e il venir meno dei suoi sentimenti ostili quando si sente adulata dal proprio ammiratore

più altre lievi sfumature che è possibile desumere intepretando finemente le variabili. Soprendente, vero, quanto potente può dimostrarsi la matematica?

Ecco il grafico presentato da Sergio Rinaldi, dove la variabile P(t), asse delle y, esprime l’amore per Laura, in funzione del tempo, espresso in anni. Chi desiderasse provare il modello di Rinaldi, segnaliamo questa pagina, che risolve graficamente il sistema di equazioni differenziali proposto al variare delle variabili. http://math.colgate.edu/~wweckesser/solver/LauraAndPetrarch.shtml Ma qual è lo scopo di questo esercizio intellettuale? Rinaldi cerca qui di attrarre l'attenzione dei ricercatori che studiano la psicologia umana. Collaborando con un altro matematico italiano, Alessandra Gragnani e con un matematico australiano, Gustav Feichtinger, ha utilizzato questo metodo per lo studio delle nevrosi. Per esempio ci si chiede: è possibile prevedere l'evolvere di una relazione amorosa burrascosa includendo certe nevrosi nel modello matematico delle "equazioni dell'amore"? Rinaldi prende dunque a studiare una variabile importante, che rientra nelle dinamiche di questa coppia e di altre coppie, oseremmo dire... problematiche: la sicurezza! 

Ovvero si possono ritrovare delle differenze comportamentali tra legami tra individui sicuri rispetto a individui insicuri? Il lavoro di ricerca è stato condotto da due psicologi canadesi, Dale GRiffin e Kim Bartholomew. Ma la ricerca di Rinaldi non si arresta qui. Continuerà infatti lo studio anche di altri modelli potenzialmente applicabili a tutte le coppie di innamorati. 

Come nel caso della lunga e turbolenta relazione triangolare, descritta nel romanzo autobiografico "Jules et Jim" di Henri Pierre Roché (1953) e poi ripresa da François Truffaut in uno dei suoi film più noti. “Divergenze e convergenze” che la protagonista, Catherine imprime al sistema, con il suo sentimento di imprevedibilità che ne definisce il ruolo di “attrattore” o, come si indichedebbe in un sistema caotico, il ruolo di “attrattore strano”, rappresentato graficamente come le ali di una farfalla... Ma di queste, e di altre "piccanti tresche amorose", racconterò nel prossimo articolo dedicato a "Passioni d'amore e matematica". 

NOTE BIBLIOGRAFICHE 

[1] Steven H. Strogatz - Love Affairs and Differential Equations - Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 1 (Feb., 1988), p. 35 

[2] Rinaldi, S. 1998. "Laura and Petrarch: An intriguing case of cyclical love dynamics". SIAM Journal of Applied Mathematics 58 (August):1205. http://www.siam.org/journals/siap/58-4/30592.html 

Il PDF scaricabile dell'articolo è presente al seguente link: http://math.la.asu.edu/~bdw/MAT275/PROJECTS/LOVEHATE/reference.pdf

[3] Le rime del Canzoniere sono disponibili sul sito del Progetto Manuzio: www.liberliber.it/home/index.php

[4] Frederic J. Jones, The Structure of Petrarch's Canzoniere A Chronological, Psychological and Stylistic Analysis, Boydell & Brewer, 1995

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