LA NUOVA ARITMETICA DELL'INFINITO È PIÙ SEMPLICE ED È MOLTO VERSATILE

Teaching the arithmetic of infinity: prima dell'inizio

Anche se non tutti lo sanno, dalla filosofia alla matematica il passo è breve. Non si tratta di due estremi, da una parte l'umanesimo e dall'altra la scienza, ma bensì di cultura. Soprattutto le basi della matematica sono molto legate alla filosofia. Infatti, quando si indagano le origini, si tende ad andare sempre più indietro, fino a scoprire gli elementi essenziali, che possono essere paragonati alle fondamenta di un edificio.

Naturalmente, nell'ambito della filosofia della matematica, l'approccio è molto più ampio e interdisciplinare. Siamo lontanissimi dall'idea della matematica che molti studenti hanno, nel senso di un insieme di regole da applicare meccanicamente per trovare il risultato. No, qui si tratta di tutt'altro, in quanto ci si interroga molto più in profondità rispetto al perché, al come, alla conseguenza di un assioma o all'utilizzabilità di un teorema. E, naturalmente, ci si può imbattere nei sistemi numerali ed osservare come, se costruiamo diversi sistemi numerali possiamo ottenere diversi risultati, eventualmente più precisi e quindi più utili per applicazioni tecnologiche.

Quanto sopra descritto è grosso modo ciò che è capitato a Davide Rizza, intervistato da Gravità Zero due mesi fa. All'epoca mi venne detto che il 5 luglio 2016 ci sarebbe stato un importante momento di apprendimento sull'aritmetica dell'infinito. E così è stato: il metodo ideato dal Prof. Yaroslav Sergeyev è stato prima introdotto dal Prof. Davide Rizza, al fine di illustrarne le motivazioni, le applicazioni e l'importanza didattica.

Workshop: insegnanti e studenti al lavoro

Ad esempio, molti studenti del 5° anno delle scuole superiori conoscono le "forme indeterminate": quando le incontrano tendono a non far più nulla, d'altronde riprendere l'esercizio dall'inizio e trovare una nuova strada è faticoso e non è detto che si giunga presto ad una soluzione. Ma le forme indeterminate saltano fuori perché non riusciamo a fare abbastanza distinzioni, nel senso che siamo approssimativi. E' un po' come avere un metro in cui non siano indicati i millimetri. Se i millimetri non ci sono non potremo effettuare misure precise al millimetro. Ecco, gli infiniti che si studiano a scuola, che risalgono al periodo 1600-1800, sono un po' come quel metro in cui mancano i millimetri. Alcune misure risulteranno indeterminate. Al contrario, il metodo di Sergeyev, spiegato da Rizza, implica una suddivisione molto più fine degli strumenti di misura. I risultati sono quindi molto più precisi, ed è più semplice ottenerli.

Le applicazioni del nuovo metodo sono ormai numerose: analisi, frattali, teoria degli insiemi, automi cellulari, teoria della calcolabilità....

Nel corso della giornata, poi, Paola Iannone (Mathematics Education Centre, Loughborough), ha affrontato il tema della sperimentazione in didattica della matematica legata al concetto di infinito, ed ha concluso notando come molti paradossi dell'infinito (ad esempio, l'hotel di Hilbert) lascino gli studenti insoddisfatti per il loro carattere controintuitivo, anche quando ne comprendano il trattamento classico. La possibilità di distinguere diversi livelli di infinito, garantita dalla metodologia del Prof. Sergeyev permette di risolvere, in una concezione più soddisfacente, le perplessità degli studenti rilevate da molte ricerche. Per questo motivo si può ipotizzare che l'aritmetica dell'infinito possa svolgere un ruolo decisivo nel facilitare la comprensione di questo concetto nell'insegnamento scolastico.

Altri problemi da risolvere per insegnanti e studenti,
ma alla fine le soddisfazioni non sono mancate.

Athina Thoma, una dottoranda presso il dipartimento di pedagogia (School of Education - University of East Anglia), ha concluso la mattinata presentando i risultati della prima valutazione qualitativa condotta in Gran Bretagna sull'uso dell'aritmetica dell'infinito (il 27 maggio 2016), che ha coinvolto un gruppo di studentesse tra i 16 e i 18 anni. Athina ha mostrato chiaramente, riferendosi ai commenti di studentesse ed insegnanti, l'accessibilità delle idee presentate dal Prof. Sergeyev e la loro utilità nel semplificare il trattamento di molti concetti e problemi di analisi (ad esempio il calcolo della somma di una serie o la valutazione di integrali indefiniti).

I lavori sono ripresi nel pomeriggio - sotto la guida di Davide Rizza - con una sessione sui primi passi nell'aritmetica dell'infinito, in cui insegnanti e studenti hanno lavorato su esercizi selezionati, discutendo in gruppo esempi risolti e strategie di risoluzione per i problemi proposti.

Le studentesse presenti hanno compreso i fondamenti del nuovo punto di vista sul concetto di infinito. Gli insegnanti hanno trovato la metodologia del Prof. Sergeyev affascinante ed hanno espresso grande soddisfazione per ciò che sono riusciti autonomamente a sviluppare: manipolazioni aritmetiche di numeri infiniti e un nuovo approccio al calcolo delle serie geometriche, indipendente dall'uso dei limiti e generalizzabile a casi in cui, in termini classici, la somma di una serie non è definita.

Walter Caputo