FORME FRATTALI: IL PARADOSSO DELLA CONVIVENZA FRA COMPLESSITÀ E SEMPLICITÀ

Tutti conoscono il cerchio: provate a disegnarne uno e osservatelo da una ragionevole distanza. Sì, quello che state vedendo è effettivamente una circonferenza. Ma ora avvicinatevi e guardate l'immagine ad un'altra scala: osservatela localmente fin quasi ad appiccicarla sugli occhiali. 

Ora vedete una linea retta. 

D'altronde "localmente un cerchio è una linea retta, infatti possiede una tangente in ogni suo punto e, visto da molto vicino, si riduce essenzialmente alla sua retta tangente" (1), afferma Benoit Mandelbrot "Nel mondo dei frattali" (Di Renzo Editore, 2007). 

E questo è il primo livello di comlplessità, infatti "secondo B. Mandelbrot, nello studio delle curve piane appare una gerarchia di complessità crescenti" (2). Oltre alla retta e alla circonferenza, nel primo livello troviamo anche le curve classiche elementari. Ecco un esempio, raccontato da Mandelbrot, "un ragionamento del tutto analogo si può fare per la sfera: vista da lontano è proprio una sfera, ma se ci si avvicina comincia a somigliare sempre più ad un piano" (3).

Dalla circonferenza alla retta, e poi dalla sfera al piano: ciò significa passare da un oggetto ad un altro, ma il secondo è meno complicato del primo. Se ci avviciniamo, quindi,  l'oggetto diventa sempre meno complicato.

Esistono tuttavia delle curve che non possiedono questa caratteristica: se ci avviciniamo il livello di complicazione non cambia. Restano sostanzialmente la stessa cosa, quindi "presentano un'invarianza della forma rispetto alla distanza" (4). Si chiamano curve frattali classiche. Il termine "geometria frattale" è stato coniato nel 1975 da Benoit Mandelbrot (1924-2010). Egli è il padre di figure che ispirano meraviglia per la loro complessità che, paradossalmente, convive con un'estrema semplicità. L'origine della parola frattale è da ricondurre al latino "fractus", ovvero irregolare e spezzato.

I frattali sono caratterizzati dall'autosimilitudine, ogni parte è come l'intero. Proprio stamattina al mercato ho fotografato qualcosa che riconoscerete subito e che ormai rappresenta quasi il "logo" del frattale. E mentre scrivo mi sono reso conto che questo pezzo è perfetto per il 39° Carnevale della Fisica, in quanto il tema è il paradosso (in questo caso fra complessità e semplicità) e i frattali hanno applicazione anche in fisica. Anzi in molte forme della natura (ed anche nei mercati finanziari).

Ma vediamo come Mandelbrot ha riassunto la pervasività di quelle strane curve che lui stesso, fra i primi, ha potuto osservare nei primi computer. "Fondamentalmente i frattali sono figure geometriche irregolari che hanno identiche strutture in tutte le scale. Si possono trovare dovunque, dalle nuvole alle montagne, dalla distribuzione delle galassie al vorticoso caos delle acque turbolenti e persino nel mercato azionario e in Internet. I frattali si sono inseriti in molte scienze, non solo in quelle che studiano l'universo naturale, ma anche in quelle che si interessano di sistemi molto complessi progettati dall'uomo, e sono anche presenti in diverse e recenti ricerche della cosiddetta matematica pura" (5).

Curva di Von Koch

Ma da dove sono saltati fuori i frattali? Innanzitutto ci sono stati dei precursori rispetto a Mandelbrot, si tratta di Peano e Von Koch. Cito qui di seguito da un mio articolo: "Giuseppe Peano, nel 1890, scoprì una curva, che – se riprodotta uguale a se stessa per un numero infinito di volte – è in grado di “ricoprire” interamente un quadrato.

La Curva di Koch è invece una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. È apparsa in un documento del 1904 intitolato "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" (Su una curva continua senza tangente, ottenuta tramite costruzione geometrica elementare) del matematico svedese Helge von Koch. Ciò che riunisce tutti questi contributi è sempre il concetto di auto similarità: grazie alla curva di Koch è possibile costruire il “fiocco di neve di Koch”, che è auto similare. In maniera analoga il “tappeto di Sierpinski” è un frattale ottenuto a partire da un quadrato. E sembra un semplice gioco, ma da 4-5 anni serve anche a modellare la percolazione di fluidi attraverso mezzi porosi"(6).

Insieme di Mandelbrot

Secondo Roger Penrose i frattali esistevano già autonomamente in un mondo astratto della matematica (7). In particolare, ad inizio articolo ho citato la gerarchia di complessità crescenti delle curve piane: ebbene le cruve frattali rientrano nel secondo livello, ma esiste anche un terzo livello, nel quale si colloca l'insieme di Mandelbrot (e Penrose si riferisce proprio ad esso). Tale insieme è una struttura caratterizzata da un costante aumento della complessità che si verifica man mano che ci si avvicina all'immagine.

Esiste infine un quarto livello di complessità, dove "tutto è davvero caotico e se ci avviciniamo non si scorge più nei dettagli ciò che si vedeva globalmente, ma si osservano delle cose nuove e impreviste" (8).

(1) Benoit Mandelbrot - Nel mondo dei frattali - Di Renzo editore, 2007

(2) Giuseppe Arcidiacono - Spazio Iperspazi Frattali (il magico mondo della geometria) - Di Renzo editore, 2004

(3) e (4) B. Mandelbrot - op. cit., pag. 59

(5) B. Mandelbrot - op. cit., pag. 37-38
(6) Walter Caputo - La geometria delle nuvole alla festa della matematica (1° parte) - Gravità Zero, 22 marzo 2010

(7) Roger Penrose - La strada che porta alla realtà - Bur editore, 2007

(8) G. Arcidiacono - op. cit., pag. 124