UN NUOVO PUNTO DI VISTA SU SUCCESSIONI E SERIE

Se consideriamo una sequenza infinita di elementi, definita a_n , dove “n” è un numero naturale, ed a_n appartiene ad un insieme “A”, stiamo prendendo in esame quella che normalmente viene chiamata successione. Ad esempio, potrebbe trattarsi semplicemente dell’insieme dei numeri naturali, dove a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3……, a_n = n, ovvero di una successione che ha sia il dominio che il codominio (o insieme immagine) uguale ad N (insieme dei numeri naturali). In buona sostanza abbiamo “n” posizioni, ed a ogni posizione corrisponde un numero intero positivo. Detto in termini ancora più semplici, siamo di fronte ad “n” scatole, ciascuna delle quali contiene un numero intero positivo. La prima è contrassegnata 1 e contiene proprio il numero 1, la seconda è contrassegnata 2 e contiene il 2 e così via.

La prima domanda che possiamo porci è: quante scatole abbiamo in tutto?
Secondo l’approccio all’Analisi Matematica elaborato dal Prof. Yaroslav Sergeyev (*), dato che l’ultimo numero naturale, ovvero il più grande di tutti, si chiama grossone, la risposta è: abbiamo un numero di scatole pari a  (= simbolo del “grossone”). Quindi il grossone è un’unità di misura dell’infinito, che ci consente di dire quanti elementi sono contenuti in una sequenza infinita di elementi. Questo è un primo importante risultato dell’applicazione del grossone come unità di misura ad una sequenza infinita di elementi: sebbene il numero di elementi sia infinito, siamo finalmente in grado di stabilire la quantità di elementi in oggetto. Si può quindi affermare che una successione non può avere un numero di elementi maggiore di .

Se dalle successioni passiamo alle serie, cioè a somme, dobbiamo considerare che una serie può avere un numero di elementi maggiore di . Allora la seconda domanda che possiamo porci è: se abbiamo una sequenza infinita di elementi, a quanto ammonta la somma di tutti gli elementi? A prima vista sembra una di quelle domande impossibili o almeno paradossali: se il numero di elementi è infinito, come possiamo sommare infiniti elementi e calcolarne addirittura il risultato? E soprattutto, com’è possibile eseguire un calcolo di questo genere senza far ricorso ai limiti, cioè ad una forma di approssimazione? Tenete conto che stiamo cercando un risultato preciso, che sia addirittura automatizzabile, cioè che sia traducibile in software per computer. Ebbene, grazie al nuovo approccio del Prof. Sergeyev (si veda il suo articolo “Numerical point of view on Calculus for functions assuming finite, infinite, and infinitesimal values over finite, infinite, and infinitesimal domains”) tale calcolo è diventato possibile.

Partiamo dal fatto che una sequenza di numeri è in progressione aritmetica se la differenza fra ogni numero e quello che lo precede è costante. Ad es. la successione proposta ad inizio articolo, cioè 1,2,3,4,5,…,n,… è in progressione aritmetica perché la distanza fra ogni numero e il precedente è costante e, in questo caso, pari ad 1. Altri esempi potrebbero essere 1,3,5,7,… oppure 1,5,9,13,….
Se abbiamo una successione in progressione aritmetica e vogliamo calcolare la somma dei primi “n” termini, basta dividere “n” per 2 e poi moltiplicare il risultato per (a1 + an), cioè per la somma fra il primo e l’ultimo termine. Applichiamo tale formula alla somma dei seguenti numeri: 1,2,3,4: otteniamo (4/2) per (1+4), cioè 2 per 5, quindi 10. Effettivamente abbiamo 4 elementi in tutto; il primo è 1 e l’ultimo è 4. Otteniamo 10 anche sommando direttamente i numeri 1,2,3,4.

Come possiamo calcolare la somma non solo dei primi 4 numeri ma di tutti i numeri naturali (considerando che sono infiniti)? Basta considerare che il numero complessivo di elementi è pari a , e che il primo è 1, mentre l’ultimo è . Di conseguenza, se applichiamo la formula precedente, otteniamo (/2) per (1 + ). Ma (/2) è equivalente a (1/2) per , cioè a 0,5 (nel senso di 0,5 per ). Allora, a questo punto, moltiplichiamo 0,5 per (1 + ), ottenendo 0,5 + 0,52 (in quanto  per  fa  al quadrato), risultato che va scritto come 0,5² + 0,5, perché, nei sistemi posizionali, prima si scrivono le potenze più grandi e poi quelle più piccole. Ma che numero abbiamo ottenuto? Che cos’è 0,5² + 0,5? In buona sostanza, a quanto ammonta la somma di questa sequenza infinita di termini?

Nel nuovo sistema numerale introdotto dal Prof. Sergeyev, i numeri sono composti da “parti” contenenti . Se  ha potenza zero (e quindi fa 1, perché ⁰ = 1), la parte in oggetto è finita; se invece  ha potenza positiva almeno finita, la parte è infinita; se infine  ha potenza negativa almeno finita, la parte è infinitesima (perché ad es., ^-1 = 1/ che è un infinitesimo, ma è strettamente maggiore di zero). Grazie a questa chiave di lettura, possiamo affermare che il risultato precedentemente ottenuto, cioè 0,5² + 0,5, è un numero che non ha parti finite (perché non ha numeri non moltiplicati per ), ma è composto da due parti infinite e non è un numero naturale, ma naturale esteso perché (0,5² + 0,5) >  (**). Certo, direte voi, ma allora è un numero infinito! Sì, ma la novità è che esso è calcolabile. E non c’è bisogno di usare i limiti, né conoscere la complicata algebra dei limiti. Si fa in fretta e addirittura un computer può farlo al posto nostro.

Tuttavia abbiamo finora considerato una sequenza infinita di elementi, in cui ciascun elemento è un numero finito (1,2,3,4,...). Nello stesso modo possiamo calcolare la somma quando ogni elemento è un infinito oppure quando ogni elemento è un infinitesimo.

Supponiamo di avere nella nostra somma sempre  addendi, dove ogni addendo è un numero infinito: il primo elemento invece di essere 1 sarà 1 (il secondo 2 e così via), mentre l’ultimo elemento, invece di essere , sarà ² (cioè da 1, 2, 3, 4 si arriva a , vale a dire ²). Dunque abbiamo (/2) per ( + ²), vale a dire 0,5³+ 0,5².

In modo analogo possiamo sommare i numeri infinitesimi. Se il numero totale degli elementi sarà sempre , ma il primo elemento sarà 1-1 (il secondo 2^-1, il terzo 3^-1 e così via), allora l’ultimo elemento sarà ^-1 cioè 1 (perché ^-1 = ⁰ = 1). Dunque abbiamo (/2) per (^-1 + 1), vale a dire 0,5¹ + 0,5.

(*) Approfondimenti

• LA FISICA DELL’INFINITO
• A COSA SERVE L’INFINITO
• MATEMATICA, INFINITO E PROGRAMMI SCOLASTICI
• L’ILLUSIONE DELLA CONTINUITA'
• MISURARE L’INFINITO

(**) Per l’insieme dei numeri naturali estesi si veda la parte finale del seguente articolo:

• MISURARE L'INFINITO

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