A COSA SERVE L’INFINITO?

Trattare gli infiniti e gli infinitesimi come dei normalissimi numeri (finiti) è il sogno di molti studenti. Grazie al Prof. Yaroslav Sergeyev questo sogno è diventato realtà.

Il suo approccio fisico alla matematica, di cui ho parlato in “La fisica dell’infinito”, ha apportato chiarezza e semplicità ad un settore dell’Analisi fra i più odiati dagli studenti, sia delle scuole superiori che universitari.

“Assumiamo l’infinito con il latte materno”, mi ha detto il simpaticissimo Prof. Sergeyev, nel senso che da “piccoli” ci viene insegnata quell’Analisi Matematica che risale a 300 anni fa, quando imperava un idealismo assoluto. E noi conosciamo ed insegniamo solo quel tipo di Analisi. Eppure il mondo di oggi non è neppure lontanamente paragonabile a quello di 300 anni fa: la fisica quantistica ha rivoluzionato il nostro modo di vedere le cose. E’ dunque venuta l’ora di rinnovare gli strumenti della matematica, ed offrire un'alternativa più moderna ad un apparato di calcolo degli infiniti tanto complicato quanto limitato nelle informazioni che può offrire. Come mi ha detto il Prof. Sergeyev, “possiamo utilizzare strumenti più semplici e conservare la ricchezza dell'espressione che studiamo non solo nel finito, ma anche nell'infinito, in termini di informazioni che si possono ottenere”.

Ma, all’atto pratico, come funziona il nuovo approccio? Per illustrarlo prendiamo in considerazione il calcolo di alcune forme indeterminate relative a limiti di funzioni, ed eseguiamo i conti sia in maniera tradizionale, che utilizzando l’approccio del Prof. Sergeyev.

La prima forma indeterminata su cui lavoriamo è ∞ - ∞. Se dobbiamo calcolare il limite, per x che tende a più infinito di 5x³– x² + 10⁶¹ – (5x³ – x²), otteniamo, in maniera tradizionale, più infinito. Otteniamo lo stesso risultato se utilizziamo una funzione leggermente diversa, 5x³ – x. Ma, se intendiamo calcolare il limite, per x che tende a più infinito della differenza fra le due funzioni, otterremo ∞ - ∞. Già solo per giungere a questo punto, in sostanza di fronte ad un vicolo cieco, dobbiamo conoscerne di regole per effettuare i calcoli. Sebbene in questo caso, ma si tratta di una combinazione, la forma indeterminata non è difficile da calcolare anche in modo tradizionale (si ottiene 10⁶¹), con il metodo del Prof. Sergeyev si risparmia tempo, fatica e si guadagnano più informazioni. D’altronde come possiamo spiegare agli studenti che avevamo ottenuto una forma indeterminata (∞ - ∞) e ricalcolando otteniamo un valore finito (10⁶¹)? Ma allora possiamo “cambiare le carte in tavola” e far venire quello che vogliamo? Spesso è proprio questa l’impressione che hanno gli studenti dopo aver ascoltato anche dotte spiegazioni in merito.

Secondo il nuovo approccio “noi possiamo calcolare facilmente la differenza fra questi due numeri infiniti”, scrive il Prof. Sergeyev in “A new applied approach for executing computations with infinite and infinitesimal quantities”. Infatti, se nella funzione 5x³– x² + 10⁶¹ – (5x³ – x²), sostituiamo un qualunque valore finito (al posto della x), oppure il più grande fra tutti i numeri naturali, cioè il “gross one” (in italiano “grossone”), otteniamo comunque lo stesso risultato (10⁶¹). Ma lo otteniamo subito, senza fatica: basta effettuare una semplicissima sostituzione, in quanto finalmente gli infiniti vengono trattati come i numeri finiti. Proviamo allora a sostituire nella funzione di cui sopra (eliminando la parentesi tonda), il numero 2 al posto della x, e poi di seguito sostituiamo il grossone, il cui simbolo è .

5(2)³ - (2)² + 10⁶¹ -5(2)³ + (2)² = 40 – 4 + 10⁶¹ - 40 + 4 = 10⁶¹

5()³ - ()² + 10⁶¹ -5()³ + ()² = 10⁶¹

In questo modo “otteniamo uno strumento molto potente per studiare i processi divergenti”, cioè che non hanno un limite all'infinito, scrive Sergeyev nel suo articolo sopra citato.

L’evidente utilità del nuovo metodo, dimostrata nell’esempio appena concluso, si può analizzare anche per forme indeterminate diverse da ∞ - ∞. Ad esempio, prendiamo in considerazione la forma indeterminata 0 ∙ ∞ e proviamo a calcolare il limite, per x che tende a zero da destra, di x ∙ ln(x). Il risultato è, appunto, 0 ∙ (-∞). Per “risolvere” questa forma indeterminata occorre prima effettuare una manipolazione algebrica, esprimendo la funzione non più come prodotto fra x e ln(x), ma come quoziente fra ln(x) e 1/x. A questo punto, disponendo del rapporto fra due funzioni (entrambe infinite), è possibile applicare il Teorema di De L’Hôpital, ma occorre saper derivare numeratore e denominatore del rapporto. Alla fine, dopo aver sviluppato tutti i calcoli, si ottiene come risultato zero.

In questo caso, secondo il nuovo approccio, basterebbe chiedersi se si desidera sostituire ad x un valore finito (diverso da zero), oppure se si vuole sostituire x con un numero infinitesimo, per esempio con il reciproco del grossone, vale a dire 1/grossone, in simboli: 1/. Calcoliamo il risultato del limite, sostituendo, al posto di x, prima 1 e poi 1/:

1 ∙ ln(1) = 1 ∙ 0 = 0

(1/) ∙ ln(1/) = (1/) ∙ ln(-1) = (1/) ∙ (-1) ∙ ln() = (-1/) ∙ ln()

Anche in questo caso si coglie la ricchezza informativa e la semplicità del nuovo approccio. Mentre, col metodo tradizionale, il risultato del limite è zero, e se sostituiamo 1 otteniamo ancora zero, a cosa serve il lavoro (non indifferente) svolto per ottenere zero? Non bastava semplicemente sostituire 1? Al contrario, secondo il metodo di Sergeyev, possiamo sostituire ad x qualunque valore ci interessi (finito, infinito oppure infinitesimo) ed ottenere risultati diversi a seconda del valore sostituito. Evidenziamo che gli infinitesimi di Sergeyev sono comunque numeri e non un'astrazione come il concetto di infinitesimo tradizionale. Di conseguenza, possiamo ottenere un risultato in tempi brevi che è facilmente automatizzabile tramite un software (già realizzato dal Prof. Sergeyev) o addirittura un hardware (è il progetto a cui sta lavorando). La conseguenza importante di tale applicazione è che, col metodo tradizionale, ottenuto zero, non è più possibile andare avanti con i calcoli; ottenuto invece il numero (-1/) ∙ ln() è possibile proseguire.
E una calcolatrice potrà farlo per noi, liberandoci per sempre dall’incubo dell’infinito e dell’infinitesimo.