STIMA DEL RISCHIO TRAMITE IL VALORE ATTESO E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO

Molte grandezze che caratterizzano un’azienda possono assumere diversi valori: ad esempio, con riferimento ad un determinato anno, il fatturato (inteso come prezzo unitario di vendita per quantità vendute) potrà essere molto grande o anche piccolo o addirittura zero, nell’ipotesi che l’azienda in questione non venda nulla. Lo stesso discorso vale per l’utile d’esercizio, inteso come differenza fra totale dei ricavi di un determinato anno e totale dei costi di quello stesso anno.

Se vi occupate di controllo di gestione, in che modo potete “pensare” all’utile? Non si tratta di una cosa di poco conto, poiché, se siete responsabilizzati proprio sull’utile, se non riuscirete a raggiungere i vostri obiettivi (appunto nel senso di un preciso ammontare dell’utile), potreste essere licenziato, con tutte le ovvie conseguenze che ne deriverebbero.

Le cose, naturalmente, non andrebbero in maniera diversa se foste responsabilizzato sul fatturato, in quanto – in buona sostanza, ovvero in termini statistici – il vostro futuro lavorativo dipende da una variabile casuale, cioè da un oggetto matematico che può assumere diversi esiti, a ciascuno dei quali è associata una determinata probabilità.

Facciamo un esempio. Siete il direttore del Maxwell Hotel e sapete benissimo che è molto difficile stimare, oggi nel 2009, l’utile dell’esercizio 2010. Infatti tale grandezza dipende da una rilevante quantità di altre variabili, comunque difficilmente prevedibili: ad esempio se la gente farà vacanze più o meno lunghe, se preferirà l’estero all’Italia oppure viceversa, se non percepirà più gli effetti della crisi finanziaria e deciderà quindi di spendere di più. E questo è un “assaggio” solo di ricavi: occorre comunque quantificare anche i costi. I costi di gestione saranno in linea con quelli del 2009, oppure più grandi, o invece più piccoli perché sarà possibile sfruttare delle economie di scala o sostituire risorse costose con altre più a buon mercato?

Il compito di stimare l’utile 2010 appare veramente impegnativo, dunque – nella vostra posizione di direttore, responsabilizzato sull’utile rispetto agli obiettivi del proprietario dell’hotel – non potrete far altro che elaborare differenti scenari futuri, ed associare a ciascuno scenario una determinata probabilità di verificarsi. Si tratta quindi di costruire la variabile casuale “utile d’esercizio 2010”.

Ammettiamo che i risultati del vostro lavoro siano i seguenti:

•  scenario pessimista: perdita di 10 milioni di euro con probabilità del 30%;
•  scenario medio: utile di 40 milioni di euro con probabilità 50%;
•  scenario ottimista: utile di 60 milioni di euro con probabilità 20%.

Che cosa significano questi numeri con le loro probabilità? Per rispondere a questa domanda vi occorre innanzitutto un indicatore di sintesi, cioè un numero che sintetizzi la vostra previsione economica. Tale numero dovrà essere l’utile che il proprietario del Maxwell Hotel dovrà ragionevolmente attendersi nel 2010. In termini statistici, tale numero si chiama “valore atteso” e si calcola semplicemente sommando fra di loro i prodotti di ciascun esito della variabile casuale con l’associata probabilità di verificarsi, ovvero nel vostro caso: (-10.000.000 ∙ 0,3) + (40.000.000 ∙ 0,5) + (60.000.000 ∙ 0,2) = - 3.000.000 + 20.000.000 + 12.000.000 = 29.000.000 euro. Ogni esito va considerato col proprio segno algebrico: la perdita con il meno e l’utile con il più; inoltre la somma delle probabilità deve fare necessariamente 100% (= 30% + 50% + 20%) ovvero 1 (= 0,3 + 0,5 + 0,2 = 30/100 + 50/100 + 20/100). Potete quindi comunicare al proprietario dell’hotel la cifra di 29 milioni di euro, che deve essere coerente con l’intero processo di budget 2010 di cui voi stessi vi siete occupati. In buona sostanza, sulla base degli obiettivi generali della proprietà, avete elaborato degli obiettivi specifici per ogni area dell’hotel (soprattutto il fatturato relativo alle camere e alla ristorazione e i costi di gestione) e l’ultimo anello della catena, ovvero il budget economico, deve evidenziare proprio un utile complessivo di 29 milioni di euro.

Occorre certamente spiegare al proprietario che questa cifra, come risultato di una serie di obiettivi concatenati, è un vostro impegno prioritario e dunque farete il possibile (e l’impossibile) perché si realizzi effettivamente. Tuttavia 29 milioni di euro non è una cifra caratterizzata da assoluta certezza, anzi, se vogliamo essere pignoli, è una cifra che non potrà mai verificarsi. Il Maxwell Hotel potrà avere una perdita di 10 milioni nello scenario pessimista, un utile di 40 in quello medio e di 60 in quello ottimista: l’utile di 29 milioni non è uno dei possibili esiti della variabile casuale “utile d’esercizio 2009”.

Di conseguenza, avete bisogno anche di un indicatore di rischio, che sia in grado di rappresentare la dispersione dei possibili esiti rispetto al valore di 29 milioni. La domanda è: rispetto a 29 milioni, quanto sono distanti gli esiti possibili (cioè -10, +40 e +60 milioni)?

Se non considerate questo aspetto e – all’inizio del 2009 – pattuite col proprietario l’obiettivo di 29 milioni di utile, potrà succedere che magari al 31/12/2009 l’utile sarà pari a 28.900.000 euro e il proprietario potrà licenziarvi in quanto non avete raggiunto gli obiettivi che voi stessi avevate accettato (d’altronde se ricoprite la carica di direttore d’albergo, dal punto di vista giuridico siete inquadrati necessariamente come dirigente e quindi la vostra protezione sindacale è minima: potete essere licenziati con una semplice comunicazione verbale proprio perché non siete stati in grado di soddisfare gli obiettivi concordati).

Un buon indicatore di rischio, o di dispersione rispetto al valore atteso, è lo scarto quadratico medio. Per poterlo calcolare dovete procedere in questo modo: innanzitutto calcolate gli scarti, cioè le differenze fra ogni esito della vostra variabile casuale e il valore atteso; poi elevate tali scarti al quadrato; infine sommate i prodotti fra ciascuno scarto al quadrato e l’associata probabilità di verificarsi, calcolando in questo modo una sorta di media; fate poi la radice quadrata del risultato ottenuto. Non è difficile ricordare il procedimento di calcolo, poiché il termine “scarto quadratico medio contiene, nella sua denominazione, tutti i passaggi di calcolo:

• scarto = differenza fra esito e valore atteso;
• quadratico = elevazione al quadrato degli scarti e infine radice quadrata dell’ultimo risultato ottenuto;
• medio = media dei quadrati degli scarti, cioè somma dei prodotti fra ciascuno e scarto e la sua probabilità di verificarsi.

Vediamo ora quanto sia facile calcolare lo scarto quadratico medio della variabile casuale “utile d’esercizio 2010”. Determiniamo gli scarti, i rispettivi quadrati, i prodotti fra ciascuno scarto al quadrato e l’associata probabilità di verificarsi e infine sommiamo fra di loro tali prodotti:

- primo esito: - 10 – 29 = -39; (- 39)2 = 1521; 1521 ∙ 0,3 = 456,3;

- secondo esito: + 40 – 29 = 11; (11)2 = 121; 121 ∙ 0,5 = 60,5;
- terzo esito: + 60 – 29 = 31; (31)2 = 961; 961 ∙ 0,2 = 192,2;

- somma dei prodotti fra ciascuno scarto al quadrato e l’associata probabilità di verificarsi: 456,3 + 60,5 + 192,2 = 709.

Non ci resta altro da fare se non la radice quadrata di 709, ovvero 26,63 (valore arrotondato). Trattandosi di milioni di euro, possiamo considerare che lo scarto quadratico medio sia pari a 26 milioni di euro. Cosa significa questo indicatore di rischio ? Semplicemente che il valore effettivo del fatturato potrà oscillare fra un utile di 3 milioni di euro (= 29 – 26) e un utile di 55 (= 29 + 26). Dunque 26 milioni è una sorta di errore che va considerato in più e in meno rispetto al valore atteso e fornisce un’idea della dispersione dei dati rispetto al valore atteso. Quanto più è ampio l’intervallo fra 3 e 55 (ad es. 1; 70), tanto maggiore è il rischio che l’utile non sia un valore prossimo al suo valore atteso.

A questo punto, carissimo Direttore del Maxwell Hotel (ora mi sento di poterti dare del tu), i risultati ottenuti sono chiari: nel 2010, se la tua costruzione della variabile casuale è corretta, non dovrebbe manifestarsi una perdita.

Tuttavia, posto un possibile intervallo piuttosto ampio di utile – cioè fra 3 e 55 milioni di euro – sta a te “contrattare” ad inizio 2010 un congruo livello di obiettivo con il proprietario, in modo tale che tu possa sentirti ragionevolmente sicuro di conservare il tuo posto di lavoro.