SCOPERTE LE BASI DI UN GIOCO MATEMATICO !!!

Recentemente mi è stato proposto un vecchio giochino matematico. Si tratta di prendere i numeri da 1 a 9, così come sono disposti nella maggior parte delle calcolatrici, ed effettuare delle somme, scoprendo che il risultato che si ottiene è sempre 1110. "Prova e vedrai che è così" mi è stato detto. Tuttavia, è evidente che provare non aggiunge nulla di nuovo alla matematica, occorre piuttosto capire in modo rigoroso quali combinazioni di numeri – sommati insieme – danno 1110, e soprattutto perché. In questa maniera si può scoprire se – eventualmente – altri numeri, diversamente disposti, sommati insieme danno ancora 1110.

Ma procediamo con ordine: innanzitutto presentiamo il "quadrato" dei dati di partenza:
7 8 9
4 5 6
1 2 3

Occorre sommare terne di numeri, considerando sempre la prima in un senso e la seconda nel senso opposto. Le somme funzionano soltanto sulle colonne esterne verticali, su quelle esterne orizzontali ed anche sulla diagonale principale e su quella secondaria. Proviamo:
- in verticale abbiamo 741 + 369 = 1110;
- in orizzontale 789 + 321 = 1110;
- sulla diagonale principale (rispetto a se stessa invertita) 753 + 357 = 1110;
- sulla diagonale secondaria (rispetto a se stessa invertita) 951 + 159 = 1110.

Qual è il trucco ? Se consideriamo i singoli numeri di ogni terna e li sommiamo con i singoli numeri della terna associata, otteniamo sempre 10. Infatti, per la prima coppia di terne (e analogamente per tutte le altre) si ha 7+3 = 4+6 = 1+9 = 10.
Trovata questa caratteristica comune a tutte le somme, possiamo sfruttarla per impostare e risolvere un sistema di equazioni vettoriali. Dobbiamo ricorrere ai vettori (ma non spaventatevi: si tratta di semplici colonne di numeri) perché non possiamo considerare, ad esempio, 741, ma separatamente 7, poi 4 e poi 1. Ci interessano infatti i singoli numeri che formano le terne, e non le terne globalmente considerate, tanto è vero che la caratteristica comune (somma dei singoli numeri pari a 10) è posseduta dai singoli numeri. In questo senso i vettori ci danno una mano.

Cominciamo quindi impostando il sistema con i numeri, cioè con le 4 somme definite in precedenza. Per la prima somma (e in maniera analoga per tutte le altre) 741 + 369 diventa un gruppo di 3 righe: 7+3=10; 4+6=10; 1+9=10.
A questo punto assegniamo a ciascuno dei numeri da 1 a 9 una lettera (da "a" ad "i"), riscriviamo l’intero sistema in forma letterale ed eliminiamo le equazioni identiche oppure "matematicamente simili" (ad es. non c’è differenza fra i + a = 10 e a + i =10). Otterremo, in buona sostanza, le relazioni che devono essere rispettate fra i numeri, affinché la loro somma – nella "rappresentazione in forma di quadrato" – sia sempre pari a 1110.
Nel sistema letterale la prima coppia di terne (e analogamente tutte le altre) produce 3 equazioni:
g + c = 10
d + f = 10
a + i = 10
Una volta risolto il sistema si ottengono le seguenti equazioni:
g = 10 – c
e = 5
i = 10 – a
d = 10 – f
h = 10 – b

Come si può osservare dai risultati del sistema, posto che comunque occorre prendere il 5, è possibile scegliere arbitrariamente 4 numeri (cioè g, i, d, h) fra 1 e 9 (gli altri 4, cioè c, a, f, b si otterranno "automaticamente" dai 4 scelti, rispettando le relazioni output del sistema). Ciò implica che il sistema non ha una soluzione unica; d’altronde il numero di equazioni non è uguale al numero di incognite (si parte con 12 equazioni e 9 incognite).: in particolare, abbiamo ottenuto 4 parametri liberi (g, i, d, h). Ci si può chiedere quindi quanti possibili "quadrati" forniscono somme pari a 1110, ma prima proviamo a ricavare altri possibili quadrati, per spiegare cosa significhi assegnare numeri a parametri liberi e ricavarne altri dalle relazioni analitiche del sistema.

Ad esempio prendiamo:
e = 5 (abbiamo già detto che non possiamo farne a meno. In un certo senso è la nostra unica certezza: se in un quadrato manca il numero 5, non potremo mai ottenere le somme pari a 1110);
g = 2 (e quindi c = 8, poiché deve valere g = 10 – c);
i = 4 e quindi a = 6;
d = 3 e quindi f = 7;
h = 1 e quindi b = 9.
Disponiamo i risultati nel quadrato:
g h i
d e f
a b c
e otteniamo un nuovo quadrato:
2 1 4
3 5 7
6 9 8
nel quale verifichiamo le somme:
214 + 896 = 1110
236 + 874 = 1110
258 + 852 = 1110
456 + 654 = 1110.

Con ciò intendiamo dire che il gioco matematico in oggetto non produce somme pari a 1110 esclusivamente con il quadrato descritto all’inizio di questo articolo, ma con un certo numero di quadrati; come abbiamo già detto, è sufficiente scegliere 4 numeri ed impostare un quadrato nuovo di zecca. Dal momento che scegliamo gruppi di 4 numeri fra insiemi di 9 numeri, possiamo agevolmente calcolare quanti quadrati diversi sommano sempre a 1110. Si tratta di applicare la formula delle disposizioni, ovvero, ad esempio, in quanti modi possibili si possono combinare le lettere A, B, C in gruppi di 2 ? In 6 modi: AB, AC, BC, BA, CA, CB. Il 6 salta fuori dalla formula: n(n-1)(n-2)…….(n-k+1), dove n = 3 (lettere A, B, C) e k = 2 (gruppi di 2 elementi). In particolare, dato che n-k+1 = 3-2+1 = 2, occorre fermarsi a 2, ottenendo 3(3-1) = 6.
Nel caso dei nostri quadrati occorre fermarsi a 6 (= n-k+1 = 9-4+1), ottenendo 9(9-1)(9-2)(9-3) = 9 x 8 x 7 x 6 = 3024. Ecco, esistono 3024 quadrati diversi. E tutti sommano a 1110.